Заполнить пропуски: 99 = ? × ? × ?

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем небольшие простые числа по порядку. Число $99$ нечётно, так что $2$ отпадает. Сумма цифр равна $9+9=18$, а это кратно $9$, поэтому $99$ делится и на $3$, и на $9$:

   $99\div9=11$

   что даёт разбиение на два множителя $99=9\times11$. Именно признак делимости на 3 по сумме цифр позволяет увидеть это сразу, без перебора делителей.

2. 2

   Раскладываем дальше любой составной множитель. Число $11$ простое (не делится ни на $2$, ни на $3$, ни на какое простое до $\sqrt{11}\approx3.3$), а вот $9$ — нет:

   $9=3\times3$

3. 3

   Собираем произведение из трёх множителей.

   $99=3\times3\times11$

   Проверка: $3\times3=9$ и $9\times11=99$ ✓. Это и есть разложение на простые множители, которое обычно записывают как $99=3^{2}\times11$.

4. 4

   Убеждаемся, что другого настоящего ответа нет. По теореме об однозначности разложения у $99$ ровно простые множители $3,3,11$, поэтому любое произведение из трёх множителей без единицы — лишь их перестановка. Запись $99=1\times9\times11$ формально тоже состоит из трёх множителей, но добавление $1$ ничего не даёт: подразумевается ответ с тремя множителями, большими $1$.

5. 5

   Перепроверяем, выписав все делители. Из $3^{2}\times11$ делители таковы: $1,3,9,11,33,99$ — их шесть, что совпадает с количеством $(2+1)(1+1)=6$, предсказанным по показателям степеней. Каждый делитель входит в пару множителей: $1\times99$, $3\times33$, $9\times11$ ✓.