У трёхзначного пароля все цифры различны, первая цифра на 2 больше второй, а сумма трёх цифр равна 10. Какой вариант верный: 7-2-1, 4-2-4, 1-3-6 или 5-3-2?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем три условия как проверки. Для цифр $d_1d_2d_3$:

   $\text{(i) все различны},\qquad \text{(ii) } d_1=d_2+2,\qquad \text{(iii) } d_1+d_2+d_3=10.$

   Раз предложено четыре варианта, прогнать каждый через три короткие проверки быстрее, чем решать задачу с нуля.

2. 2

   Начнём с самой дешёвой проверки — на различие цифр. Вариант B — это $4$-$2$-$4$, где цифра $4$ повторяется. Отбрасываем сразу, без единого вычисления.

3. 3

   Применим правило про первую цифру к остальным.

   $\text{A: }7\overset{?}{=}2+2=4\ \text{✗},\qquad \text{C: }1\overset{?}{=}3+2=5\ \text{✗},\qquad \text{D: }5\overset{?}{=}3+2=5\ \text{✓}.$

   Варианты A и C отпадают. Заметим, что у всех трёх — A, C и D — сумма цифр равна $10$, так что одно условие (iii) их не различило бы: в этом и состоит подвох задачи.

4. 4

   Проверим уцелевший вариант по всем трём условиям. Для $5$-$3$-$2$: цифры $5,3,2$ различны ✓; $5=3+2$ ✓; $5+3+2=10$ ✓.

5. 5

   Решим задачу напрямую и посмотрим, какой вариант уцелеет. Из (ii) следует $d_2=d_1-2$; подставив в (iii), получаем $d_3=12-2d_1$. Условие $0\le d_3\le 9$ даёт $d_1\in\{2,\ldots,6\}$, а требование различности исключает только $d_1=4$ (тогда $d_3=4=d_1$). Остаются четыре допустимых пароля — $208$, $316$, $532$ и $640$, — из которых в списке есть лишь D: 5-3-2.