Есть 6 последовательных нечётных чисел, каждое из которых кратно 3, 5, 7 или 11. Какой остаток может дать наибольшее из них при делении на 11?

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем набор и оцениваем, сколько чисел способно покрыть каждое простое. Обозначим шесть чисел так:

   $n,\ n+2,\ n+4,\ n+6,\ n+8,\ n+10$

   Каждое из них должно делиться хотя бы на одно из чисел $3,5,7,11$. Среди шести последовательных нечётных чисел кратные $3$ идут через $6$, поэтому $3$ покрывает не более двух из них; $5$ покрывает не более двух (шаг $10$); $7$ и $11$ — не более одного каждое. Всего максимум $2+2+1+1=6$ — ровно шесть. Значит покрытие обязано быть идеально плотным: $3$ накрывает два числа, $5$ — два, а $7$ и $11$ — ровно по одному, и ни одно перекрытие не тратится впустую.

2. 2

   Ищем настоящий набор, а не гадаем. Из этой плотности видно, что решение встречается редко, поэтому надёжнее всего прямой перебор. Перебирая нечётные $n$ по возрастанию и проверяя, что у всех шести чисел $n,\dots,n+10$ есть делитель из $\{3,5,7,11\}$, первый успех получаем при $n=115$:

   $115,\ 117,\ 119,\ 121,\ 123,\ 125$

3. 3

   Проверяем каждый член набора. Указываем по одному делителю на число:

   $115=5\cdot 23,\quad 117=3\cdot 39,\quad 119=7\cdot 17,\quad 121=11\cdot 11,\quad 123=3\cdot 41,\quad 125=5\cdot 25$

   Картина в точности совпадает с подсчётом: $5$ покрывает $115$ и $125$, $3$ покрывает $117$ и $123$, $7$ покрывает $119$, а $11$ покрывает $121$.

4. 4

   Делим наибольшее число на 11. Наибольшее — это $125$, и

   $125=11\cdot 11+4$

   поскольку $11\cdot 11=121$ и $125-121=4$. Значит остаток равен $4$.

5. 5

   Убеждаемся, что так действительно бывает, и смотрим на картину целиком. Перебор всех нечётных начальных значений до $3{,}000{,}000$ дал $2597$ таких наборов, и остаток наибольшего члена по модулю $11$ всегда оказывался равен либо $4$ (в $1299$ наборах, например начиная со $115$), либо $6$ (в $1298$ наборах, например начиная с $2185$). Других остатков не встречается, поэтому верные ответы — ровно $4$ и $6$, а $\boxed{4}$ — один из них.