Сколько чисел от 5 до 200 делятся на 2 или на 5?

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем метод включений–исключений и читаем «или» как объединение. Пусть $A$ — это числа из $X$, делящиеся на $2$, а $B$ — делящиеся на $5$. «Делится на $2$ или $5$» означает $A\cup B$, и

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   Вычитание необходимо: такие числа, как $10$, $20$, $30$ попадают в оба списка и не должны учитываться дважды.

2. 2

   Считаем количество кратных 2. Используем $\big\lfloor \tfrac{200}{2}\big\rfloor-\big\lfloor \tfrac{4}{2}\big\rfloor$ — считаются все кратные до $200$ минус те, что до $4$ (то есть ниже начала диапазона):

   $|A|=100-2=98$

   (Исключены $2$ и $4$; итоговый список — $6,8,\ldots,200$.)

3. 3

   Считаем количество кратных 5.

   $|B|=\left\lfloor\frac{200}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{5}\right\rfloor=40-0=40$

   (Список — $5,10,\ldots,200$, и $5$ входит в диапазон.)

4. 4

   Считаем пересечение. Число, делящееся и на $2$, и на $5$, делится на $\operatorname{lcm}(2,5)=10$:

   $|A\cap B|=\left\lfloor\frac{200}{10}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{10}\right\rfloor=20-0=20$

5. 5

   Подставляем в формулу.

   $|A\cup B|=98+40-20=118$

   $\boxed{118}$

6. 6

   Проверяем через дополнение. В множестве $X$ всего $200-5+1=196$ элементов. Среди $10$ подряд идущих чисел только $4$ не делятся ни на $2$, ни на $5$ (оканчиваются на $1,3,7,9$); от $5$ до $200$ таких десятков $19$ (с $11$ по $200$), плюс $2$ числа ($7,9$) до первого десятка: $2+4\times 19=78$. Тогда $196-78=118$, что совпадает с предыдущим результатом.