В ансамбле от 24 до 44 участников. Если разбить на группы по 5, никто не остаётся. Если по 7 — остаётся 2 человека. Сколько всего участников?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём оба условия в сравнения по модулю. «В ряды по $5$ без остатка» означает, что число участников $n$ удовлетворяет $n\equiv0\pmod 5$. «В ряды по $7$ с остатком $2$» — это $n\equiv2\pmod 7$. Вместе с ограничением $24\le n\le44$ эти условия однозначно определяют $n$ — по китайской теореме об остатках для взаимно простых модулей на каждом отрезке длины $35$ будет ровно одно решение, а наш диапазон длиной $21$.

2. 2

   Выпишем кандидаты по более строгому и простому условию. Кратные $5$ в диапазоне от $24$ до $44$:

   $25,\ 30,\ 35,\ 40$

   Начинаем с условия делимости, а не остатка, чтобы список был короче — всего четыре числа для проверки вместо шести.

3. 3

   Проверим каждое число на остаток при делении на $7$.

   $25=7\cdot3+4,\qquad 30=7\cdot4+2\ \checkmark,\qquad 35=7\cdot5+0,\qquad 40=7\cdot5+5$

   Только $30$ даёт остаток $2$ при делении на $7$.

4. 4

   Убедимся, что решение единственно. По китайской теореме об остатках система $n\equiv0\pmod5$, $n\equiv2\pmod7$ имеет единственное решение по модулю $35$, а именно $n\equiv30\pmod{35}$. Следующие возможные значения — $30-35=-5$ и $30+35=65$, оба вне диапазона $[24,44]$, значит, $30$ — единственный подходящий вариант.

5. 5

   Проверим соответствие исходным условиям. $30\div5=6$ рядов по $5$ без остатка — условие выполнено. $30\div7=4$ ряда по $7$ и $30-28=2$ человека в остатке — тоже подходит. Оба условия выполнены, и $30$ лежит в заданном диапазоне, значит, ответ — вариант А.