Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записывают в обратном порядке, получая второе четырёхзначное число. Разность первого и второго равна 1359. Найдите одно такое исходное число.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба числа в виде суммы разрядных слагаемых. Пусть исходное число — $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$, а его обратное — $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a$. Тогда разность равна

   $N-N_{\text{rev}}=999(a-d)+90(b-c).$

   Любая подобная задача сводится к этой формуле.

2. 2

   Определим последнюю цифру. Число $N$ делится на $5$, значит $d\in\{0,5\}$. Но обратное число тоже должно быть четырёхзначным, то есть его первая цифра $d$ не может быть $0$. Следовательно,

   $d=5.$

3. 3

   Решим уравнение для разностей цифр. Требуется $999(a-d)+90(b-c)=1359$. Если взять $a-d=1$, получаем $90(b-c)=1359-999=360$, то есть $b-c=4$ — допустимая разность цифр. Если $a-d=2$, то $90(b-c)=1359-1998=-639$, что не делится на $90$; при больших значениях разность только увеличивается по модулю. Значит, единственно возможный вариант — $a-d=1$ и $b-c=4$.

4. 4

   Подставим найденные значения и выпишем варианты. $d=5$, $a=d+1=6$, $b-c=4$, обе цифры в диапазоне от $0$ до $9$. Возможные пары: $(b,c)=(4,0),(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)$:

   $6405,\ 6515,\ 6625,\ 6735,\ 6845,\ 6955.$

5. 5

   Проверим один из вариантов и отметим закономерность. $6405-5046=1359$ — верно, и $6955-5596=1359$ — тоже верно. Перебор всех четырёхзначных чисел, кратных $5$, показывает, что эти шесть — единственные подходящие; любое из них подходит по условию.