Раскройте скобки и упростите выражение: корень из 2 умножить на (корень из 7 плюс 6 корней из 72).

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем скобки, распределяя внешний корень на оба слагаемых: $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt2\cdot\sqrt7 + \sqrt2\cdot6\sqrt{72}.$ Числовой коэффициент $6$ просто переписывается, а перемножаются только корни.

2. 2

   Перемножим первые два корня. По свойству $\sqrt a\,\sqrt b = \sqrt{ab}$ для неотрицательных $a$ и $b$: $\sqrt2\cdot\sqrt7 = \sqrt{14}.$ Так как $14 = 2\cdot7$ не содержит квадратных множителей, $\sqrt{14}$ — это уже простейшая форма иррационального корня.

3. 3

   Перемножим вторую пару — заметим, что результат окажется рациональным. $\sqrt2\cdot\sqrt{72} = \sqrt{144} = 12,$ потому что $2\cdot72 = 144$ — это точный квадрат. В этом и состоит смысл задания: одно слагаемое останется иррациональным, а другое — станет целым числом.

4. 4

   Умножим коэффициент. $6 \cdot 12 = 72$, значит, второе слагаемое — это целое число $72$.

5. 5

   Запишем окончательный ответ: $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt{14}+72 = 72+\sqrt{14}.$ Эти два слагаемых — несходные (одно рациональное, другое — корень), поэтому дальше упростить нельзя.

6. 6

   Проведём численную проверку. $\sqrt2 \approx 1.414214$, $\sqrt7 \approx 2.645751$, $\sqrt{72} \approx 8.485281$, тогда исходное выражение $1.414214(2.645751+50.911688) \approx 75.741657$; а $72+\sqrt{14} \approx 72+3.741657 = 75.741657$. Значения совпадают.

7. 7

   Заметим альтернативный путь: если сначала упростить $\sqrt{72} = 6\sqrt2$, то второе слагаемое превращается в $\sqrt2\cdot36\sqrt2 = 36\cdot2 = 72$ — тот же результат, но с меньшим количеством вычислений.