Вычислите (216 × 6⁻⁵)³ × (36⁻²)⁻¹.

Step-by-step solution

1. 1

   Представим все числа как степени одного основания. Все числа в выражении — это степени $6$:

   $216=6^{3},\qquad 36=6^{2}$

   Когда все выражено через одно основание, остаётся только работать с показателями степени — большие числа считать не придётся.

2. 2

   Упростим выражение в первой скобке. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

   $216\cdot 6^{-5}=6^{3}\cdot 6^{-5}=6^{3-5}=6^{-2}$

3. 3

   Возведём в третью степень. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

   $\left(6^{-2}\right)^{3}=6^{-6}$

4. 4

   Упростим второй множитель. Здесь снова перемножаются показатели, а два минуса дают плюс:

   $\left(36^{-2}\right)^{-1}=36^{2}=\left(6^{2}\right)^{2}=6^{4}$

5. 5

   Перемножим полученные степени.

   $6^{-6}\cdot 6^{4}=6^{-2}=\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{36}$

   $\boxed{\dfrac{1}{36}}$

6. 6

   Проверим численно. $216\cdot 6^{-5}=\tfrac{216}{7776}=\tfrac{1}{36}$; возводим в куб — $\tfrac{1}{46656}$; $\left(36^{-2}\right)^{-1}=1296$. Тогда $\tfrac{1296}{46656}=\tfrac{1}{36}$ ✓ — тот же ответ, но с гораздо большими промежуточными числами, что и показывает преимущество метода через степени одного основания.