Разложение на простейшие дроби: полный рабочий процесс

Разложение на простейшие дроби это алгебраический навык, который позволяет проинтегрировать любую рациональную функцию на свете. Вместо того чтобы бороться с одной уродливой дробью, вы разбиваете её на части, которые легко интегрировать почленно. Это руководство разбирает каждый случай, с которым вы столкнётесь.

Постановка

Рациональная функция это $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P, Q$ многочлены. Разложение на простейшие дроби работает только тогда, когда степень $P$ < степени $Q$. Если это не так, сначала выполните деление многочленов столбиком, чтобы выделить целую часть.

После деления полностью разложите $Q(x)$ на множители над полем действительных чисел. Каждый множитель попадает в одну из четырёх категорий.

Четыре случая

Случай 1: различные линейные множители

Если $Q(x) = (x - a)(x - b)$, записываем:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Пример. Разложите $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Умножаем обе части: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Подставляем $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Подставляем $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Итак, $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Случай 2: кратный линейный множитель

Для $(x - a)^k$ нужен по одному члену на каждую степень вплоть до $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Случай 3: неприводимый квадратный множитель

Для каждого неприводимого $x^2 + bx + c$ используйте числитель с двумя неизвестными:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Случай 4: кратный неприводимый квадратный множитель

Та же идея, что в случае 2, но каждая степень получает форму $Bx + C$.

Применение к интегрированию

После разложения интегрируйте почленно:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ при $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ распадается на часть с $\ln$ и часть с $\arctan$.

Типичные ошибки

• Забывают сначала выполнить деление столбиком, когда степень $P$ ≥ степени $Q$.
• Пропускают кратные члены — $(x - 1)^3$ требует трёх отдельных дробей.
• Пытаются разложить неприводимые квадратные множители — проверьте дискриминант, прежде чем принудительно искать действительные корни.

Попробуйте с ИИ-решателем интегралов

Решатель интегралов автоматически выполняет разложение на простейшие дроби, когда это нужно, и показывает каждый шаг.

Похожие материалы:

• Калькулятор разложения на множители — для разбиения $Q(x)$ на части
• Калькулятор многочленов — для подготовки деления столбиком
• Калькулятор пределов — используется в некоторых приёмах проверки разложения