Правила работы со степенями: каждый закон с разобранными примерами

Степени сжимают повторяющееся умножение в единую изящную запись. Как только вы усвоите семь правил ниже, упрощение выражений вроде $\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ станет упражнением на 30 секунд. Эта страница — шпаргалка, которую можно держать открытой во время выполнения домашнего задания.

Почему степени важны

Правила работы со степенями не произвольны — все они следуют из определения $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ сомножителей}}$. Как только вы понимаете, почему работает каждое правило, вы перестаёте заучивать и начинаете выводить по требованию.

Семь основных законов

#	Закон	Пример
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

Плюс два определяющих случая: $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$ и $a^1 = a$.

Разобранный пример: комбинирование правил

Упростите $\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.

1. Примените правило 4 к скобке: $(2x^3)^2 = 4x^6$.
2. Подставьте: $\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.
3. Сократите четвёрки: $\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$.
4. Объедините числитель по правилу 1: $\frac{x^2}{x^{-1}}$.
5. Примените правило 2: $x^{2 - (-1)} = x^3$.

Всё упрощение — это просто бухгалтерия: правила ведут вас сами.

Интуиция отрицательных и дробных показателей

Отрицательный показатель не означает «отрицательное число»; он означает обратную величину. Поэтому $5^{-2} = 1/25$, а не $-25$.

Дробный показатель $a^{p/q}$ — это сначала корень, потом степень (или сначала степень, потом корень — ответ тот же). Знаменатель задаёт корень, числитель задаёт степень: $32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$.

Типичные ошибки

• $(a + b)^n \ne a^n + b^n$ — степени не распределяются по сложению. $(2 + 3)^2 = 25$, а не $4 + 9$.
• $a^{-n} \ne -a^n$ — отрицательный показатель — это обратная величина, а не смена знака.
• $0^0$ по соглашению равно $1$ в алгебре и комбинаторике, но не определено в некоторых разделах анализа. Будьте осторожны, если сомневаетесь.

Попробуйте с ИИ-решателем степеней

Вставьте любое выражение в решатель степеней / упрощения, и вы получите пошаговое упрощение, использующее ровно те правила, что приведены выше.

Связанные ссылки:

• Калькулятор упрощения — для общей алгебраической чистки
• Калькулятор логарифмов — операция, обратная к возведению в степень
• Калькулятор многочленов — где правила степеней встречаются чаще всего