Resolver x²((8.9 − x)² − 64) = (71 × 8.9 − 79x)² para todo x real.

Step-by-step solution

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   Reduce las constantes y desarrolla los dos lados. Primero, $71\cdot 8.9=631.9$. A la izquierda,

   $(8.9-x)^2-64=x^2-17.8x+79.21-64=x^2-17.8x+15.21$

   $\text{Izq}=x^2(x^2-17.8x+15.21)=x^4-17.8x^3+15.21x^2$

   A la derecha, con $79^2=6241$, $2(631.9)(79)=99840.2$ y $631.9^2=399297.61$:

   $\text{Der}=6241x^2-99840.2x+399297.61$

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   Pasa todo a un lado. Restando el lado derecho del izquierdo:

   $x^4-17.8x^3+(15.21-6241)x^2+99840.2x-399297.61=0$

   $x^4-17.8x^3-6225.79x^2+99840.2x-399297.61=0$

   Llamemos a esto $f(x)$. Observa que el cuadrado ya venía hecho de fábrica —el enunciado es la forma elevada al cuadrado—, así que toda raíz real de esta cuártica es una solución genuina: no hay nada extraño que descartar.

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   Localiza los cambios de signo para acotar las raíces reales. Evaluando $f$ en unos cuantos puntos:

   $f(-90)\approx 1.877\times 10^{7},\quad f(-80)\approx 1.842\times 10^{6},\quad f(-70)\approx -7.779\times 10^{6}$

   $f(0)=-399297.61,\quad f(80)\approx -410738,\quad f(81)\approx 427422$

   Hay un cambio de signo entre $-80$ y $-70$, y otro entre $80$ y $81$. Como una cuártica tiene a lo sumo cuatro raíces reales y el coeficiente principal es positivo, esos dos intervalos contienen una raíz cada uno.

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   Afina las dos raíces. El método de Newton dentro de cada intervalo converge a

   $x_1\approx -78.5149849012,\qquad x_2\approx 80.4985052279$

   Sustituyendo de vuelta en $x^2((8.9-x)^2-64)-(631.9-79x)^2$ se obtienen residuos de magnitud menor que $10^{-7}$, así que ambas son genuinas.

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   Demuestra que no hay más raíces reales: este es el paso que importa. En todo el intervalo $[0,80]$ la cuártica nunca se vuelve positiva: su mayor valor allí es de unos $-3992$, alcanzado cerca de $x\approx 7.909$. Como $f<0$ a lo largo de todo ese tramo, ninguna raíz puede esconderse dentro. Para $x<-78.51$ y $x>80.50$ la cuártica crece en magnitud y se mantiene positiva, y en $(-78.51,0)$ se mantiene negativa. Así que existen exactamente dos raíces reales; las otras dos son el par complejo $7.90824\pm 0.79772i$.

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   Desconfía de la respuesta de cuatro raíces, que parece plausible. Una solución que circula con frecuencia enumera $x\approx-86.19,\ 6.9982,\ 8.9387,\ 88.055$. Prueba directamente las dos centrales: $f(6.9982)\approx -9205$ y $f(8.9387)\approx -10628$, ambas muy lejos de cero, exactamente como predice la cota en $[0,80]$. Siempre que alguien reporte una cuártica con cuatro raíces reales, sustituye al menos una: el signo de $f$ en todo un intervalo es la refutación más barata que existe.