解方程 74x − 2x² = 690。

Step-by-step solution

1. 1

   先化成一般形式。 把所有项移到一边，好让一元二次方程那套工具用得上：

   $-2x^2+74x-690=0$

2. 2

   把系数标准化。 先乘 $-1$ 让二次项系数为正，再除以 $2$：

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   这两步对方程来说都是合法的，而且能把数字压到最小。

3. 3

   试着找整数因数，结果找不到。 要因式分解就得找两个数，乘积为 $345$、和为 $37$。由于 $345=3\times5\times23$，因数对只有 $(1,345),(3,115),(5,69),(15,23)$，对应的和是 $346,118,74,38$ —— 没有一个是 $37$。（注意 $15+23=38$ 差得多近：这道题只是差一点点才无解。）

4. 4

   算判别式。

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   它是负的，所以没有实数解。抛物线 $x^2-37x+345$ 整条都在横轴上方。

5. 5

   解释这个「差一点」。 左边的 $74x-2x^2$ 是一条开口向下的抛物线，在 $x=\tfrac{74}{4}=18.5$ 处取到峰值，那里的值是 $74(18.5)-2(18.5)^2=1369-684.5=684.5$。既然可能取到的最大值是 $684.5$，而目标是 $690$，方程要求的东西超出可达范围 $5.5$。这个缺口正是判别式 $-11$ 所记录的（两者相差的那个因子 $2$ 来自前面那次除法）。

6. 6

   给出复数根并验证。 在 $\mathbb{C}$ 上：

   $x=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   把其中任一个代入 $74x-2x^2$，结果在 $10^{-9}$ 误差内都回到 $690$ ✓；而在 $-1000$ 到 $1000$ 之间扫过 $200{,}001$ 个实数值，找不到任何实数解 ✓。