正の実数 a, b, c に対して、P = (a/(a+b))⁴ + (b/(b+c))⁴ + (c/(c+a))⁴ の最小値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   変数を取り替えて条件を露わにする。 $u=\dfrac{b}{a}$、$v=\dfrac{c}{b}$、$w=\dfrac{a}{c}$ と置くと、$uvw=1$ が自動的に成り立つ。すると $x=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{1+u},\quad y=\frac{1}{1+v},\quad z=\frac{1}{1+w},\qquad P=x^4+y^4+z^4.$

2. 2

   等号成立の場合を推測する。 $a=b=c$ とすると $x=y=z=\tfrac12$ となり、$P=3\left(\frac12\right)^4=\frac{3}{16}.$ である。残る仕事は、これを下回る配置が存在しないことを示すことである。

3. 3

   2 乗和を経由して下から評価する。 $x^2,y^2,z^2$ にべき平均不等式を適用すると、$x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}.$ となる。よって $x^2+y^2+z^2\ge\tfrac34$ を示せば十分である。（$x+y+z\ge\tfrac32$ という魅力的な近道は端的に偽である——$a=1,b=2,c=4$ とすると $1.4667$ になる——ので、1 乗ではなく 2 乗のほうが下から抑えるべき量である。）

4. 4

   2 変数の補題を使う。 すべての $u,v>0$ に対して $\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}\ge\frac{1}{1+uv},$ が成り立つ。分母を払うと恒等式 $(uv-1)^2+uv(u-v)^2\ge 0$ が残るからである。

5. 5

   $uv=1/w$ として適用する。 補題から $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{1+1/w}=\dfrac{w}{1+w}=1-z$ が得られるので、$x^2+y^2+z^2\ge 1-z+z^2=\left(z-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34.$

6. 6

   まとめて確認する。 したがって $P\ge\frac{(3/4)^2}{3}=\frac{3}{16},$ であり、等号が成り立つのはちょうど $z=\tfrac12$ かつ $u=v$ のとき、すなわち $a=b=c$ のときである。ランダムな初期値 $200$ 通りからの数値的な大域探索でも、$a:b:c=1:1:1$ で下限 $0.1875$ に落ち着く。