已知 x − 4y = 5，求 C = x² − 8xy + 16y² 的值。

Step-by-step solution

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   先注意到条件并不能把 x 和 y 分别定下来。 两个未知数却只有一个方程，解有无穷多组，所以这个式子必须能整理成只依赖 $x - 4y$ 这个组合的形式——这就是在强烈暗示我们去找完全平方。

2. 2

   把式子和完全平方的形式对上。 公式是

   $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

   这里 $A^2 = x^2$ 给出 $A = x$，$B^2 = 16y^2$ 给出 $B = 4y$。再核对中间项：$2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$，正好对应式子里的 $-8xy$。

3. 3

   把整个式子写成一个平方。

   $C = x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$

4. 4

   把整个括号的值代进去。 因为 $x - 4y = 5$：

   $C = 5^2 = 25$

   代进去的是整个表达式 $x - 4y$，而不是 $x$、$y$ 各自的值——正是这一点让这道题变得可解。

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   取几组具体数值验证。 任何满足 $x - 4y = 5$ 的 $(x, y)$ 都该给出同样的结果。取 $y = 0$、$x = 5$：$25 - 0 + 0 = 25 \ \checkmark$；取 $y = 1$、$x = 9$：$81 - 72 + 16 = 25 \ \checkmark$；取 $y = -2$、$x = -3$：$9 - 48 + 64 = 25 \ \checkmark$。