化簡 (9a² − 4)/(2 − 3a) − (6a² − 5a − 6)/(3 − 2a)。

Step-by-step solution

1. 1

   先定好路線：通分之前先把所有東西因式分解。 兩個分母相對於分子上將要出現的因式來說都是「倒著寫」的，而這種顛倒恰好值一個因數 $-1$。先看出這一點，就能避開一場繁瑣的通分運算。

2. 2

   把第一個分式因式分解並約分。 $9a^2-4 = (3a)^2-2^2 = (3a-2)(3a+2)$，而 $2-3a = -(3a-2)$。約去相同的因式：$\frac{(3a-2)(3a+2)}{-(3a-2)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac23.$

3. 3

   分解第二個分子。 對 $6a^2-5a-6$，要找乘積為 $6(-6) = -36$、和為 $-5$ 的兩個整數：就是 $4$ 與 $-9$。拆項後分組：$6a^2+4a-9a-6 = 2a(3a+2)-3(3a+2) = (3a+2)(2a-3)$。

4. 4

   把第二個分式約分。 因為 $3-2a = -(2a-3)$，$\frac{(3a+2)(2a-3)}{-(2a-3)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac32.$ 兩個分式約分後化成了同一個式子。

5. 5

   相減。 $(-3a-2)-(-3a-2) = -3a-2+3a+2 = 0.$ 只要式子有定義，它就恆等於零。

6. 6

   記下排除值並抽查。 原式在 $a=\tfrac23$ 與 $a=\tfrac32$ 沒有定義。代入 $a=0.3$、$1.7$、$-2$、$5$，結果在全精度下都是 $0$，恆等式獲得確認。