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Calculadora de Integral Tripla

Calcule integrais triplas em coordenadas retangulares, cilíndricas ou esféricas com soluções passo a passo geradas por IA
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

O que é uma Integral Tripla?

Uma integral tripla estende o conceito de integrais simples e duplas para três dimensões. Para uma função f(x,y,z)f(x, y, z) definida em uma região sólida E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

fornece a acumulação total de ff sobre EE. O elemento infinitesimal de volume dVdV se torna dx dy dzdx\,dy\,dz em coordenadas cartesianas, mas pode ser reescrito conforme a geometria de EE.

Significados físicos comuns:

  • Se f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, a integral fornece o volume de EE.
  • Se f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) é uma densidade, ela fornece a massa total.
  • Momentos, centros de massa e momentos de inércia são todos integrais triplas de funções de densidade ponderadas.

A chave para calcular uma integral tripla é escolher o sistema de coordenadas certo e definir os limites corretamente.

Como Montar e Calcular Integrais Triplas

Passo 1: Escolha as Coordenadas

Geometria da RegiãoMelhores CoordenadasElemento de Volume
Caixa / geralRetangulares (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Simetria cilíndricaCilíndricas (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Simetria esféricaEsféricas (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Passo 2: Defina os Limites

Projete a região sobre um plano coordenado para determinar a ordem de integração. Para um sólido do tipo I limitado acima por z=g2(x,y)z = g_2(x,y) e abaixo por z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Passo 3: Calcule Iterativamente

Integre primeiro a mais interna, tratando as variáveis externas como constantes. Depois prossiga para fora.

Coordenadas Cilíndricas

Use as substituições x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

O fator extra rr vem do determinante Jacobiano.

Coordenadas Esféricas

Use x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

O Jacobiano ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi é fundamental — esquecê-lo é o erro mais comum de todos.

Erros Comuns a Evitar

  • Esquecer o Jacobiano: cilíndricas ganham um fator rr, esféricas ganham ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Pular isso dá resposta errada toda vez.
  • Ordem errada dos limites: os limites mais internos podem depender das variáveis externas, mas os limites mais externos devem ser constantes. Inverter isso gera bobagem.
  • Erros de sinal com sin⁡φ\sin\varphi: em esféricas, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (então sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Usar φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] está errado.
  • Misturar convenções: alguns livros usam φ\varphi para o ângulo polar (a partir do eixo z), outros para o ângulo azimutal. Seja consistente com uma convenção.
  • Não esboçar a região: para sólidos não triviais, um esboço rápido evita limites impossíveis.

Examples

Step 1: Monte a integral iterada: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Integre em zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Integre em yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Integre em xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: Em esféricas: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Volume = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Interna: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Do meio: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Externa: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Produto: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Mude para cilíndricas: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Integral = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Interna: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Do meio: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Externa: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Use cilíndricas quando a região tem simetria de rotação em torno do eixo z mas sem estrutura radial especial (cilindros, paraboloides, cones acima/abaixo de um disco). Use esféricas quando a região é limitada por esferas, cones a partir da origem ou tem simetria radial 3D completa (bolas, cascas esféricas).

O Jacobiano é o determinante que ajusta o elemento de volume ao mudar de coordenadas. Em cilíndricas ele é igual a r, em esféricas é igual a ρ² sin φ. Sem ele, a integral mede o volume errado.

Observe a região: integre primeiro a variável com limites dependendo de outras (mais interna), depois prossiga para fora. A variável mais externa deve ter limites constantes. Se uma ordem levar a limites feios, troque a ordem usando um esboço da região.

Sim, se o integrando puder ser negativo. Para cálculos de volume, o integrando é 1 e a resposta é sempre positiva. Para grandezas físicas como fluxo com sinal ou força líquida, valores negativos são possíveis e significativos.

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