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Calculadora de Séries

Analise a convergência, calcule somas e expanda séries de Taylor/Maclaurin com soluções passo a passo

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∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

O que é uma Série?

Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Uma série infinita tem a forma:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

As somas parciais são SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. Se a sequência de somas parciais converge para um limite finito SS, dizemos que a série converge e ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S. Caso contrário, a série diverge.

Série Geométrica: A série ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n converge para a1−r\frac{a}{1-r} quando ∣r∣<1|r| < 1.

Série-p: A série ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} converge quando p>1p > 1 e diverge quando p≤1p \leq 1.

Série de Potências: Uma série da forma ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n que representa uma função dentro do seu raio de convergência.

Série de Taylor: A expansão em série de potências de f(x)f(x) em torno de x=ax = a:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Quando a=0a = 0, isso é chamado de série de Maclaurin.

Como Determinar a Convergência

Teste da Divergência (teste do n-ésimo termo)

Se lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, a série diverge. Nota: se o limite é 0, o teste é inconclusivo.

Teste da Razão

Calcule L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:

  • Se L<1L < 1: converge absolutamente
  • Se L>1L > 1: diverge
  • Se L=1L = 1: inconclusivo

Teste da Raiz

Calcule L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. As mesmas regras de conclusão do Teste da Razão.

Teste da Integral

Se f(n)=anf(n) = a_n onde ff é positiva, contínua e decrescente para x≥1x \geq 1:
∑n=1∞an converge  ⟺  ∫1∞f(x) dx converge\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ converge}

Teste da Comparação

Se 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n para todo nn:

  • Se ∑bn\sum b_n converge, então ∑an\sum a_n converge
  • Se ∑an\sum a_n diverge, então ∑bn\sum b_n diverge

Teste das Séries Alternadas (Teste de Leibniz)

A série alternada ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n converge se:

  1. bn>0b_n > 0 para todo nn
  2. bnb_n é decrescente
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

Séries de Taylor/Maclaurin Comuns

FunçãoSérie de MaclaurinRaio
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

Escolhendo o Teste Certo

TesteMelhor ParaIndicador Chave
DivergênciaEliminação rápidaTermos claramente não tendem a 0
RazãoFatoriais, exponenciaisn!n! ou rnr^n nos termos
Raizn-ésimas potênciasan=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
IntegralFunções decrescentes simplesan=f(n)a_n = f(n) facilmente integrada
ComparaçãoTermos parecidos com séries conhecidasParece série-p ou geométrica
AlternadaSéries com sinal alternadoFator (−1)n(-1)^n

Erros Comuns a Evitar

  • Usar mal o Teste da Divergência: se lim⁡an=0\lim a_n = 0, isso NÃO prova convergência. A série harmônica ∑1/n\sum 1/n diverge mesmo com 1/n→01/n \to 0.
  • Aplicar o Teste da Razão quando L = 1: quando o limite da razão é igual a 1, o teste não fornece informação. Você precisa usar um teste diferente.
  • Confundir convergência absoluta e condicional: uma série pode convergir condicionalmente (como a série harmônica alternada) sem convergir absolutamente.
  • Raio de convergência errado: não esqueça de verificar os extremos separadamente ao encontrar o intervalo de convergência.
  • Resto da série de Taylor: o polinômio de Taylor é apenas uma aproximação; para um número finito de termos, há um termo de resto cujo limitante importa para a precisão.

Examples

Step 1: Aplique o Teste da Razão: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1, então a série converge
Step 3: Para encontrar a soma, use a fórmula ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} com x=12x = \frac{1}{2}: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: Comece com a série geométrica: 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n para ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: Substitua t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: Simplifique: ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots para ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, valid for ∣x∣<1|x| < 1

Step 1: Esta é uma série alternada com bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: Verifique: bn>0b_n > 0 ✓, bnb_n é decrescente ✓, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: Pelo Teste das Séries Alternadas, a série converge (condicionalmente, já que ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} diverge como série-p com p=1/2<1p = 1/2 < 1)
Answer: The series converges conditionally

Frequently Asked Questions

Uma série converge se suas somas parciais se aproximam de um número finito à medida que você adiciona mais termos. Uma série diverge se as somas parciais crescem sem limite ou oscilam sem se estabilizar em um valor.

Séries de Taylor são usadas para aproximar funções complicadas com polinômios, tornando-as mais fáceis de calcular, derivar ou integrar. São fundamentais na física, engenharia e análise numérica para aproximar funções perto de um ponto específico.

O raio de convergência R é a distância a partir do centro de uma série de potências dentro da qual a série converge. Para |x - a| < R a série converge absolutamente, para |x - a| > R ela diverge, e em |x - a| = R você precisa verificar os extremos individualmente.

Não. A série harmônica, que é a soma de 1/n de n=1 ao infinito, diverge. Mesmo que os termos se aproximem de zero, eles não diminuem rápido o suficiente para a soma permanecer finita. Este é um exemplo clássico mostrando que termos tendendo a zero é necessário, mas não suficiente para a convergência.

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