Calculadora de Série de Taylor

Uma série de Taylor representa uma função como um polinômio infinito construído a partir das derivadas da função em um único ponto $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Quando $a = 0$, a série é chamada de série de Maclaurin:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Por que isso importa: séries de Taylor convertem cálculos sobre funções possivelmente difíceis ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) em cálculos sobre polinômios, que computadores e humanos conseguem lidar. São a base dos métodos numéricos, das expansões assintóticas e da teoria de aproximação.

O polinômio de Taylor de grau $n$ é a soma parcial mantendo os termos até $(x-a)^n$. É a melhor aproximação polinomial de $f$ perto de $a$ num sentido preciso (igualando o valor e as primeiras $n$ derivadas).

Passo 1: Calcule as Derivadas no Ponto de Expansão

Para $f(x)$ e ponto de expansão $a$, calcule $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Passo 2: Substitua na Fórmula

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Séries de Maclaurin Comuns para Memorizar

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Raio de Convergência

Uma série de Taylor converge apenas dentro de um raio de convergência $R$ em torno de $a$. Encontre-o usando o teste da razão:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Fora desse raio, a série diverge e não representa a função. Dentro, a convergência costuma ser uniforme em subconjuntos compactos.

Manipulando Séries Conhecidas

Para ganhar velocidade, substitua, derive ou integre séries conhecidas em vez de calcular derivadas do zero:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (substitua $-x^2$ em $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Esquecer o fatorial: o $n$-ésimo termo tem um $\frac{1}{n!}$, não apenas a derivada. Pular isso dá uma resposta totalmente errada.
• Usar a série fora do seu raio de convergência: $\frac{1}{1-x}$ não é igual a $\sum x^n$ quando $|x| > 1$ — a série diverge ali.
• Esquecer de centrar em $a$: uma série de Taylor em torno de $a$ usa potências de $(x-a)$, não de $x$.
• Confundir grau e número de termos: um polinômio de Taylor de grau $n$ tem $n+1$ termos (graus $0$ até $n$).
• Erros de sinal na substituição: $\sin(-x) = -\sin(x)$, então a série de $\sin(-x)$ tem os sinais alternados invertidos em relação a $\sin(x)$.