Série de Taylor explicada: aproximando qualquer função com polinômios

Se as derivadas capturam a inclinação de uma função em um ponto, as séries de Taylor capturam a função inteira em um ponto — empilhando um número infinito de derivadas. Elas são a ponte entre o cálculo e a computação numérica: toda vez que sua calculadora calcula $\sin(0,4)$, ela está somando uma série de Taylor por baixo dos panos.

A fórmula da série de Taylor

A série de Taylor de uma função $f$ centrada em $x = a$ é:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

Ou seja: avalie $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … no ponto $a$ e então construa um polinômio cujo $n$-ésimo termo é $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Quando $a = 0$, a série é chamada de série de Maclaurin — o caso mais comum.

Por que isso funciona?

Em torno do ponto $a$, uma função parece sua reta tangente (termo $n=1$), depois uma parábola incluindo a curvatura ($n=2$), depois uma cúbica, e assim por diante. Cada derivada de ordem mais alta captura informação de forma mais detalhada. Some infinitos termos e (para funções "bem-comportadas") você recupera $f$ exatamente.

Três expansões clássicas de Maclaurin

Decore estas três — elas aparecem o tempo todo:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

A série da exponencial tem todas as potências; o seno tem apenas potências ímpares; o cosseno apenas potências pares. Essa simetria é uma consequência direta de quais derivadas se anulam em $0$.

Exemplo resolvido: construindo $\sin x$ do zero

Seja $f(x) = \sin x$. Em $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• O padrão se repete a cada 4 derivadas.

Substitua na fórmula de Taylor:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
que se simplifica para $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. O mesmo que a fórmula acima.

Aproximação na prática

Para $x$ pequeno perto de 0, mesmo os primeiros termos são extremamente precisos:

• $\sin(0,1) \approx 0,1 - 0,001/6 \approx 0,09983$ (valor verdadeiro: $0,0998334\dots$).

É por isso que a aproximação de ângulo pequeno $\sin x \approx x$ é válida: o termo seguinte é minúsculo quando $x$ é pequeno.

Convergência — quando ela de fato é igual a $f$?

As séries de Taylor têm um raio de convergência $R$. Para $|x - a| < R$ a série é igual a $f(x)$; fora dele, a série diverge. Algumas funções ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) têm $R = \infty$. Outras, como $1/(1-x)$ centrada em 0, têm $R = 1$.

Erros comuns

• Esquecer os denominadores fatoriais $n!$.
• Confundir as expansões em série — o seno tem ímpares, o cosseno pares, $e^x$ todas.
• Supor a convergência sem verificar o raio.

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Links relacionados:

• Calculadora de Derivadas — os blocos de construção de toda série de Taylor
• Calculadora de Limites — convergência é uma questão de limite
• Calculadora de Integrais — as séries de Taylor podem ser integradas termo a termo