Z-점수 계산기

z-점수(표준점수라고도 함)는 값이 평균으로부터 몇 표준편차만큼 떨어져 있는지를 측정합니다.

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

여기서 $x$는 원래 값, $\mu$는 모평균, $\sigma$는 모표준편차입니다.

해석:

• $z = 0$: 값이 평균과 같음.
• $z = 1$: 평균보다 1 표준편차 위.
• $z = -2$: 평균보다 2 표준편차 아래.
• $|z| > 2$는 관례적으로 '비정상적'; $|z| > 3$은 '극단적'.

왜 표준화하는가?

• 비교 가능성: z-점수를 사용하면 서로 다른 분포의 값을 비교할 수 있습니다(예: SAT 수학 시험의 $z = 1.5$ 대 언어 시험의 $z = 1.5$는 같은 상대적 성과를 의미).
• 확률 조회: 기저 분포가 근사적으로 정규분포이면 $z$는 표준정규 누적분포함수 $\Phi(z)$를 통해 확률에 직접 대응됩니다.
• 이상값 탐지: 큰 $|z|$는 잠재적 이상값을 표시합니다.

표본 버전: 표본 데이터로 작업할 때는 $\mu$를 $\bar{x}$로, $\sigma$를 $s$로 대체합니다.

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

단계별

1. 값 $x$, 평균 $\mu$(또는 $\bar{x}$), 표준편차 $\sigma$(또는 $s$)를 식별합니다.
2. 평균을 뺍니다: $x - \mu$.
3. 표준편차로 나눕니다: $z = (x - \mu)/\sigma$.

역방향: $z$로부터 $x$ 구하기

$x = \mu + z\sigma$

백분위수가 주어지고 해당 원래 값을 묻는 경우에 유용합니다.

표준정규를 통한 확률

정규분포 변수 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$에 대해, 표준화된 변수 $Z = (X - \mu)/\sigma$는 표준정규 $N(0, 1)$을 따릅니다.

흔한 확률:

대칭성: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

경험 규칙 (68-95-99.7)

정규분포의 경우:

• 값의 약 68%가 평균의 $\pm 1\sigma$ 안에 있음.
• 약 95%가 $\pm 2\sigma$ 안에.
• 약 99.7%가 $\pm 3\sigma$ 안에.

이는 신뢰구간과 많은 빠른 추정의 기초입니다.

신뢰구간을 위한 임계 Z-값

이는 $P(-z^* < Z < z^*) =$ 신뢰수준이 되는 값 $z^*$입니다.

• 잘못된 순서: $(\mu - x)/\sigma$가 아니라 $z = (x - \mu)/\sigma$입니다. 평균을 두 번째에 두면 부호가 뒤바뀝니다.
• 표준편차 대신 분산 사용: $\sigma^2$이 아니라 $\sigma$로 나눕니다. '분산 하나만큼 떨어진' 값은 무의미합니다 — 표준편차 하나를 원합니다.
• 표본 대 모집단: 표본 데이터는 $\bar{x}$와 $s$를 사용합니다. 알려진 모수는 $\mu$와 $\sigma$를 사용합니다. 이를 혼동하면 z-점수가 부풀거나 줄어듭니다.
• 확인 없이 정규성 가정: z-점수는 임의의 분포에 대해 계산할 수 있지만, 확률 조회 $\Phi(z)$는 기저 분포가 정규(또는 중심극한정리에 의해 근사적으로 정규)일 때만 적용됩니다.
• 부호를 잊는 것: $z = -2$는 '평균 아래'를 의미합니다. $z = 2$로 보고하면 방향을 잘못 나타냅니다.
• 단측과 양측 확률 혼동: $P(|Z| > 2)$는 양쪽 꼬리 합($\approx 0.0456$)입니다. $P(Z > 2)$는 한 꼬리($\approx 0.0228$)입니다. 질문을 주의 깊게 읽으세요.