확률 계산기

확률은 사건이 일어날 가능성이 얼마나 되는지를 측정합니다. $0$과 $1$ 사이의 수(또는 동등하게 $0\%$에서 $100\%$)로 표현됩니다.

$P(A) = \frac{\text{유리한 경우의 수}}{\text{가능한 전체 경우의 수}}$

핵심 개념

• 표본공간 $S$: 가능한 모든 결과의 집합
• 사건 $A$: 표본공간의 부분집합
• 여사건 $A'$: $A$가 일어나지 않는 사건; $P(A') = 1 - P(A)$

확률의 유형

• 이론적 확률: 동등하게 가능한 결과에 대한 추론에 기반(예: 공정한 동전은 $P(\text{앞면}) = \frac{1}{2}$)
• 실험적 확률: 실험에서 관측된 빈도에 기반
• 주관적 확률: 개인적 판단이나 전문성에 기반

확률 규칙

• 임의의 사건 $A$에 대해 $0 \le P(A) \le 1$
• $P(S) = 1$ (무언가는 반드시 일어남)
• $P(\emptyset) = 0$ (불가능한 사건)

기본 확률

동등하게 가능한 결과의 경우:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{유리한 경우}}{\text{전체 경우}}$

덧셈 규칙 (OR)

사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어날 확률:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$A$와 $B$가 상호 배타적이면(함께 일어날 수 없음):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

곱셈 규칙 (AND)

사건 $A$ 그리고 사건 $B$가 모두 일어날 확률:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

$A$와 $B$가 독립이면:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

조건부 확률

$B$가 일어났을 때 $A$의 확률:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

이항 확률

각각 확률 $p$인 $n$번의 독립 시행에서 정확히 $k$번 성공할 확률:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

여기서 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

요약 표

• 사건이 독립이 아닌데 독립이라고 가정 — 비복원으로 카드를 뽑으면 매번 뽑은 후 확률이 바뀝니다.
• 덧셈 규칙에서 겹침을 빼는 것을 잊는 것 — 사건이 함께 일어날 수 있을 때, 중복 계산을 피하려면 $P(A \cap B)$를 빼야 합니다.
• "그리고"와 "또는" 혼동 — "그리고"는 두 사건이 모두 일어남을 의미(독립 사건은 확률을 곱함); "또는"은 적어도 하나가 일어남을 의미(확률을 더함).
• 표본공간의 모든 가능한 결과를 고려하지 않는 것 — 특히 조합과 순열에서 전체를 올바르게 세는지 확인하세요.
• 조건부 확률 방향 혼동 — $P(A|B)$는 $P(B|A)$와 같지 않습니다.