라플라스 변환 계산기

라플라스 변환은 시간의 함수 $f(t)$를 복소 주파수의 함수 $F(s)$로 변환합니다.

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

이 변환은 적분이 수렴하는 어떤 우반평면 $\operatorname{Re}(s) > \sigma$의 $s$에 대해 정의됩니다.

유용한 이유: 라플라스 변환은 미분을 $s$의 곱셈으로 변환하여, 상수 계수를 가진 선형 상미분방정식을 $s$에 대한 대수방정식으로 만듭니다. 대수를 풀고, 역라플라스 변환을 취하여 시간 영역에서 답을 얻습니다.

라플라스 변환은 또한 불연속 및 충격 입력(계단함수, 디랙 델타)을 우아하게 다루므로 제어 이론, 신호 처리, 전기 공학에서 필수적입니다.

기본 변환 쌍

핵심 표를 외우세요.

핵심 성질

선형성:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

제1이동정리 (s-이동):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

이것이 $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$이 되는 방식입니다.

$t$-영역에서의 미분:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

이것이 상미분방정식을 대수로 변환하는 것입니다: 도함수는 $F(s)$가 곱해진 $s$의 다항식이 되고, 초기 조건이 내장됩니다.

$t$ 곱하기:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

역라플라스 변환

$F(s)$가 주어질 때, $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$가 되는 $f(t)$를 구합니다. 표준 기법:

1. 부분분수: $F(s)$를 표에 맞는 간단한 유리식 조각으로 분해합니다.
2. 완전제곱식: $\frac{1}{s^2 + bs + c}$ 형태의 경우, 이동된 사인 표 항목에 맞도록 $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$로 다시 씁니다.
3. 찾아보고 결합하기 위해 선형성을 사용합니다.

라플라스 변환으로 ODE 풀기

$y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$에 대해:

1. 라플라스 적용: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. $Y$에 대해 풀기: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$이므로 $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (정리 후).
3. 역변환: $y(t) = t e^{-t}$.

깔끔하고 기계적입니다 — 같은 문제를 매개변수 변환법으로 풀면 두 배의 작업이 필요합니다.

• 초기 조건을 잊는 것: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. $f(0)$을 건너뛰는 것이 가장 흔한 단일 오류입니다.
• s-이동의 잘못된 부호: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$이며 $F(s + a)$가 아닙니다. 부호가 중요합니다.
• 불연속 처리 오류: 계단 입력의 경우, 단위 계단함수 $u(t-a)$와 시간이동정리 $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$를 사용하세요.
• 부분분수 없이 역변환: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$은 직접 역변환되지 않습니다 — 먼저 분해하세요.
• $F(s)$와 $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$ 혼동: $F(s)$는 변환이고, $f(t)$는 원함수입니다. ODE 문제는 항상 시간 영역으로 돌아와 끝내세요.