조립제법 계산기

조립제법은 다항식 $p(x)$를 일차 인수 $x - k$로 나누는 지름길입니다. 긴 나눗셈보다 빠르며, 쓰는 양만 적을 뿐 같은 몫과 나머지를 만들어냅니다.

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$을 $x - k$로 나누면 조립제법은 다음을 만들어냅니다.

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

여기서 $q(x)$는 몫($n - 1$차), $r$은 상수 나머지입니다.

주요 용도:

1. 제수가 일차 $x - k$일 때 빠른 다항식 나눗셈.
2. $p(k)$ 계산 — 나머지 정리에 의해 $p(k) = r$이므로, 나머지가 정확히 함숫값입니다.
3. 다항식 인수분해 — $r = 0$이면 $(x - k)$가 인수이고 $q(x)$가 여인수를 알려줍니다.
4. 유리근 정리와 결합한 유리근 찾기.

준비

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$을 $x - k$로 나누려면:

1. 제수의 영점 $k$를 왼쪽에 씁니다.
2. $p(x)$의 계수를 오른쪽에 나열합니다. 빠진 항에는 0을 포함합니다.

알고리즘

1. 첫 계수($a_n$)를 그대로 내립니다.
2. $k$를 곱하고 그 결과를 다음 계수($a_{n-1}$) 아래에 씁니다.
3. 열을 더합니다. 합을 맨 아래 행에 씁니다.
4. 반복합니다: 그 합에 $k$를 곱하고, 다음 계수 아래에 쓰고, 더합니다.
5. 모든 계수를 끝낼 때까지 계속합니다.

결과 읽기

맨 아래 행에는 다음이 포함됩니다.

• 처음 $n$개 항목: 몫 $q(x)$의 계수(차수 내림차순).
• 마지막 항목: 나머지 $r$.

예: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

$x^3 + 0x^2 - 4x + 5$의 계수: $[1, 0, -4, 5]$. 제수의 영점: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

몫: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. 나머지: $5$.

따라서 $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

나머지 정리와의 연결

$p(x) = (x - k)q(x) + r$의 나머지 $r$은 $p(k)$와 같습니다. $x = k$로 두면:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

따라서 조립제법은 대입 없이 $p(k)$를 계산하는 빠른 방법입니다.

인수 정리

따름정리: $(x - k)$가 $p(x)$의 인수인 것은 $p(k) = 0$일 때, 즉 조립제법의 나머지가 $0$일 때뿐입니다.

• 0 자리표시자를 빠뜨리는 것: $p(x) = x^3 - 4x + 5$에서는 빠진 $x^2$ 항에 $0$을 포함해야 합니다. 그렇지 않으면 열이 어긋납니다.
• $k$의 부호 오류: $x - 2$로 나누려면 $k = 2$(제수의 영점)를 사용합니다. $x + 3$으로 나누려면 $k = -3$을 사용합니다.
• $ax - k$ 제수에는 직접 사용할 수 없음: 가르치는 조립제법은 $x - k$(최고차항 계수 1)에 작동합니다. $ax - k$의 경우 먼저 $a$를 묶어내거나 다항식 긴 나눗셈을 사용합니다.
• 첫 계수 내리기를 잊는 것: 첫 단계는 항상 '$a_n$을 내리기'이며, 아직 아무것도 곱하지 않습니다.
• 몫을 잘못 읽는 것: 맨 아래 행의 처음 $n$개는 계수이며 차수가 1 낮아집니다. 4차 다항식을 $x - k$로 나누면 3차 몫이 됩니다.