도함수 vs 미분

도함수 와 미분 은 밀접하게 관련되어 있지만 서로 다른 수학적 대상이며, 둘을 혼동하는 것이 많은 미묘한 미적분 오류의 원인입니다.

도함수

도함수 $f'(x)$ (또는 $\frac{dy}{dx}$) 는 각 $x$ 에서 $f$ 의 변화율을 주는 함수 입니다. $f(x) = x^2$ 이면 $f'(x) = 2x$.

수치적으로: $x = 3$ 에서 $f'(3) = 6$ — 그 점에서의 접선의 기울기입니다.

미분

미분 $dy$ 는 $x$ 의 무한소 변화 $dx$ 에 대응하는 $y$ 의 무한소 변화 입니다:

$dy = f'(x) \, dx$

$y = x^2$ 이면: $dy = 2x \, dx$.

미분을 쓰면 도함수를 무한소의 비 로 적을 수 있습니다 — 적분에서의 치환($u$-치환: $du = u'(x) dx$)과 미분방정식의 변수분리 에 유용합니다.

차이가 중요해질 때

적분에서: $\int 2x \, dx$ 는 도함수가 아니라 미분 $dx$ 를 사용합니다.

음함수 미분에서: $x^2 + y^2 = 25$ 로부터 미분을 취하면 $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, 그다음 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 풉니다.

물리에서: $dW = F \, dx$ (미분으로서의 일) 이지, "일은 힘의 도함수와 같다" 가 아닙니다.

선형 근사

$dy$ 는 작은 $dx$ 에 대한 $\Delta y$ (실제 변화) 의 선형 근사 역할도 합니다:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

이것이 오차 전파, 뉴턴 방법, 그리고 미적분 전체의 선형 근사 기반입니다.

결론

변화율 / 함수가 필요할 때는 도함수 $f'(x)$ 를 사용하세요. 무한소 변화가 필요할 때, 특히 적분·치환·미분방정식에서는 미분 $dy = f'(x) dx$ 를 사용하세요.