확률의 기초: 규칙, 조합론, 그리고 예제

확률은 불확실성을 수치로 나타냅니다. 좋은 소식: 대부분의 숙제 문제는 소수의 규칙과 신중하게 세려는 의지만 있으면 풀립니다. 이 가이드는 분포, 가설 검정, 베이즈 추론으로 넘어가기 전에 필요한 토대를 다룹니다.

"확률"이 의미하는 것

사건 $A$ 의 확률은

$P(A) = \frac{\text{유리한 결과의 수}}{\text{전체 결과의 수}}$

이며, 모든 결과가 똑같이 일어날 수 있다고 가정합니다. $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = 불가능.
• $1$ = 확실.
• $0.5$ = 동전 던지기.

똑같이 일어나지 않는 결과에 대해서는 각 결과에 가중치를 부여합니다(확률 분포가 하는 일이 바로 이것입니다).

세 가지 핵심 규칙

덧셈 규칙 (A 또는 B 의 확률)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

이중으로 세지 않도록 교집합을 빼줍니다. $A$ 와 $B$ 가 상호 배타적(둘 다 일어날 수 없음)이라면 교집합은 0 입니다.

예제: 52장 카드 덱에서 한 장을 뽑을 때, $P(\text{킹 또는 하트}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$. (한 장은 킹이면서 동시에 하트이므로 그만큼 빼줍니다.)

곱셈 규칙 (A 그리고 B 의 확률)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

$A$ 와 $B$ 가 독립(한쪽이 다른 쪽에 영향을 주지 않음)이라면 $P(B | A) = P(B)$ 가 되어 $P(A) \cdot P(B)$ 로 간단해집니다.

예제: 주사위 두 개를 굴릴 때, $P(\text{둘 다 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$. (각 굴림은 독립입니다.)

조건부 확률

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$A$ 가 일어났다는 조건 아래에서의 $B$ 의 확률입니다. 베이즈 정리와 추론 통계학 대부분의 기초입니다.

예제: 뽑은 카드가 그림 카드입니다. 그것이 킹일 확률은?

• $P(\text{킹이면서 그림 카드}) = 4/52$.
• $P(\text{그림 카드}) = 12/52$.
• $P(\text{킹 | 그림 카드}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$.

세기: 순열과 조합

$n$ 개에서 $r$ 개를 선택할 때:

• 순열(순서가 중요): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• 조합(순서 무관): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

판단 기준은 "선택한 것 중 두 개를 바꾸면 결과가 달라지는가?"입니다:

• 예 (예: 금메달 vs 은메달) → 순열.
• 아니오 (예: 5인 위원회 선출) → 조합.

풀이 예제: 복권

49개에서 6개의 숫자를 고릅니다. 당신의 복권에서 순서는 중요하지 않습니다 — 조합입니다.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

따라서 $P(\text{6개 숫자 잭팟 당첨}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$.

독립 vs 상호 배타 (혼동하지 마세요!)

• 독립: $A$ 를 알아도 $P(B)$ 는 변하지 않습니다. 동전 던지기는 독립입니다.
• 상호 배타적: $A$ 와 $B$ 는 둘 다 일어날 수 없습니다. 주사위가 1 이면서 동시에 2 일 수는 없습니다.

두 사건은 한쪽만, 다른 쪽만, 둘 다, 혹은 둘 다 아닐 수 있습니다. 흔히 혼동되지만 같은 개념이 아닙니다.

흔한 실수

• 도박사의 오류: "앞면이 5번 연속 나왔으니 다음은 분명 뒷면이다." 동전 던지기는 독립이며 — 과거는 미래의 확률을 바꾸지 않습니다.
• 교집합을 빼지 않고 상호 배타적이지 않은 확률을 더하는 것. $P(\text{킹}) + P(\text{하트}) \neq P(\text{킹 또는 하트})$.
• $P(A | B)$ 와 $P(B | A)$ 를 혼동하는 것. 전형적인 검사의 오류: "피고가 무죄라면 이 증거가 나올 확률은 작다; 따라서 이 증거가 있으면 무죄일 확률은 작다." 베이즈 정리를 적용하지 않으면 논리적으로 틀린 추론입니다.

직접 해보기

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