순열 vs 조합

순열과 조합은 한 가지 질문——순서가 중요한가?——을 던지기 전까지는 거의 똑같아 보입니다. 이를 잘못 판단하면 확률 답이 $r!$ 배 이상 어긋납니다. 여기서는 풀이 예제와 함께 명확한 구분을 보여 드립니다.

핵심 질문: 순서가 중요한가?

• 그렇다, 순서가 중요하다 → 순열. 10명의 주자에서 1위 / 2위 / 3위를 뽑기.
• 아니다, 순서가 중요하지 않다 → 조합. 20명에서 5인 위원회를 뽑기.

같은 10명의 후보라도 역할이 구별되는지 여부에 따라 답이 달라질 수 있습니다.

공식

$n$ 개에서 $r$ 개를 선택할 때:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

조합은 순열을 $r!$ 로 나눈 것 임에 주목하세요. 조합은 순서를 따지지 않으므로, 그 $r!$ 가 선택한 항목들의 순서를 제거합니다.

풀이 예제

순열: 경주 시상대

10명의 주자, 메달 3개 순위(금·은·동). 순서가 중요합니다——금 ≠ 은.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

조합: 복권 번호

49개에서 6개의 번호를 선택——복권 위의 순서는 중요하지 않습니다.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

같은 숫자, 다른 답

{A, B, C, D} 에서 3개의 문자를 선택.

• 순열로 (3문자 비밀번호): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... 모두 서로 다름.
• 조합으로 (단지 3개 문자를 선택): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

둘 사이의 $3! = 6$ 배 차이가 바로 공식의 $r!$ 입니다.

판단 지름길

헷갈릴 때는 이렇게 물어보세요: "내가 선택한 항목 중 두 개를 바꾸면 결과가 달라지는가?"

• 그렇다 → 순열
• 아니다 → 조합

주장과 부주장을 뽑기 → 바꾸면 누가 주장인지 달라짐 → 순열.
듀오를 위해 2명을 뽑기 → 바꿔도 같은 듀오 → 조합.

흔한 실수

• 확률이 얽힐 때 둘을 섞기. 분모(전체 경우의 수)와 분자(유리한 경우의 수)는 같은 세는 방법을 써야 합니다.
• $r!$ 약수를 잊기. 조합이 필요한데 순열을 계산하면 $r!$ 배만큼 과다 계산합니다.
• 구별 가능한 항목과 구별 불가능한 항목. 일부 항목이 동일한 경우(예: 빨간 공 5개와 파란 공 3개), 어느 단순 공식도 적용되지 않습니다——다항 계수 $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$ 가 필요합니다.

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