What is partial fraction decomposition used for?

Partial fraction decomposition breaks a rational function into a sum of simpler fractions that are easier to integrate. It is primarily used in integral calculus but also appears in Laplace transforms and solving differential equations.

How do I set up partial fractions for distinct linear factors?

For each distinct linear factor (ax + b) in the denominator, write a term A/(ax + b). For repeated linear factors (ax + b)ⁿ, write A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)² + ... + Aₙ/(ax+b)ⁿ. Then solve for constants by matching coefficients.

What should I do before applying partial fraction decomposition?

First ensure the rational function is proper — the degree of the numerator must be less than the degree of the denominator. If the function is improper, perform polynomial long division first, then decompose the proper remainder part.

AI-Math - Partial Fractions Decomposition: The Complete Workflow

부분분수 분해는 지구상의 어떤 유리함수든 적분할 수 있게 해 주는 대수 기술입니다. 하나의 보기 싫은 분수와 씨름하는 대신, 그것을 항별로 쉽게 적분할 수 있는 조각으로 나눕니다. 이 가이드는 만나게 될 모든 경우를 안내합니다.

설정

유리함수란 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 입니다( $P, Q$ 는 다항식). 부분분수는 $P$ 의 차수 < $Q$ 의 차수일 때만 작동합니다. 그렇지 않다면, 먼저 다항식 장제법을 수행해 다항식 부분을 떼어 냅니다.

나눈 후, $Q(x)$ 를 실수 범위에서 완전히 인수분해합니다. 모든 인수는 네 가지 범주 중 하나에 들어갑니다.

네 가지 경우

경우 1: 서로 다른 일차 인수

$Q(x) = (x - a)(x - b)$ 일 때는 다음과 같이 씁니다:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

예제. $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$ 을 분해합니다.

전체에 곱합니다: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$ .

$x = 1$ 대입: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$ .
$x = -2$ 대입: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$ .

따라서 $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$ 입니다.

경우 2: 반복되는 일차 인수

$(x - a)^k$ 에 대해서는 $k$ 까지 각 거듭제곱마다 하나의 항이 필요합니다:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

경우 3: 기약 이차 인수

기약인 $x^2 + bx + c$ 마다 미지수가 두 개인 분자를 사용합니다:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

경우 4: 반복되는 기약 이차

경우 2와 같은 발상이지만, 각 거듭제곱이 $Bx + C$ 형태를 갖습니다.

적분에의 응용

일단 분해하면, 항별로 적분합니다:

$\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
$\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ ( $k > 1$ 일 때)
$\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ 는 $\ln$ 부분과 $\arctan$ 부분으로 나뉩니다.

흔한 실수

$P$ 의 차수 ≥ $Q$ 의 차수일 때 먼저 장제법을 하는 것을 잊는 것.
반복되는 항을 건너뛰는 것 — $(x - 1)^3$ 은 세 개의 별도 분수가 필요합니다.
기약 이차를 인수분해하려고 하는 것 — 실근을 억지로 구하기 전에 판별식을 확인하세요.

AI 적분 솔버로 시도해 보기

적분 솔버는 필요할 때 부분분수 분해를 자동으로 수행하고 모든 단계를 보여줍니다.

Partial Fractions Decomposition: The Complete Workflow

A no-fluff walkthrough of partial fractions — the four cases (distinct linear, repeated linear, irreducible quadratic, repeated quadratic) with worked examples and integration tips.

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