Partial Fractions Decomposition: The Complete Workflow

부분분수 분해는 지구상의 어떤 유리함수든 적분할 수 있게 해 주는 대수 기술입니다. 하나의 보기 싫은 분수와 씨름하는 대신, 그것을 항별로 쉽게 적분할 수 있는 조각으로 나눕니다. 이 가이드는 만나게 될 모든 경우를 안내합니다.

설정

유리함수란 $\frac{P(x)}{Q(x)}$입니다($P, Q$는 다항식). 부분분수는 $P$의 차수 < $Q$의 차수일 때만 작동합니다. 그렇지 않다면, 먼저 다항식 장제법을 수행해 다항식 부분을 떼어 냅니다.

나눈 후, $Q(x)$를 실수 범위에서 완전히 인수분해합니다. 모든 인수는 네 가지 범주 중 하나에 들어갑니다.

네 가지 경우

경우 1: 서로 다른 일차 인수

$Q(x) = (x - a)(x - b)$일 때는 다음과 같이 씁니다:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

예제. $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$을 분해합니다.

전체에 곱합니다: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

$x = 1$ 대입: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
$x = -2$ 대입: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

따라서 $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$ 입니다.

경우 2: 반복되는 일차 인수

$(x - a)^k$에 대해서는 $k$까지 각 거듭제곱마다 하나의 항이 필요합니다:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

경우 3: 기약 이차 인수

기약인 $x^2 + bx + c$마다 미지수가 두 개인 분자를 사용합니다:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

경우 4: 반복되는 기약 이차

경우 2와 같은 발상이지만, 각 거듭제곱이 $Bx + C$ 형태를 갖습니다.

적분에의 응용

일단 분해하면, 항별로 적분합니다:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ ($k > 1$일 때)
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$는 $\ln$ 부분과 $\arctan$ 부분으로 나뉩니다.

흔한 실수

• $P$의 차수 ≥ $Q$의 차수일 때 먼저 장제법을 하는 것을 잊는 것.
• 반복되는 항을 건너뛰는 것 — $(x - 1)^3$은 세 개의 별도 분수가 필요합니다.
• 기약 이차를 인수분해하려고 하는 것 — 실근을 억지로 구하기 전에 판별식을 확인하세요.

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적분 솔버는 필요할 때 부분분수 분해를 자동으로 수행하고 모든 단계를 보여줍니다.

관련 참고 자료:

• 인수분해 계산기 — $Q(x)$를 분해하기 위해
• 다항식 계산기 — 장제법 설정을 위해
• 극한 계산기 — 일부 부분분수 분해 검증 기법에서 사용됨