1, 2, 3 と書かれたカードの袋から 1 枚引いて記録し、戻す。これを 5 回繰り返す。記録された 5 つの数を大きい順に a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e と並べる。b = 3 となる確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   順序統計量を個数の条件に翻訳する。 大きい順に並べると $b$ は2 番目に大きい値になる。$3$ が取りうる最大の値なので、$b=3$ となるのは 5 回の引きのうち少なくとも 2 回 $3$ が出るとき、そしてそのときに限る。（$3$ が 1 回しか出なければ $a$ は $3$ だが $b$ は $2$ か $1$ になる。）

   $\{b=3\}=\{X\ge 2\},\qquad X=\#\text{（}3\text{ の回数）}$

2. 2

   X の分布を見きわめる。 引きは復元なので $X\sim\text{二項分布}(n=5,\ p=\tfrac13)$ である。

3. 3

   余事象を使う——4 項ではなく 2 項で済む。 $P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$ を足すのではなく、小さい 2 つの場合を引く。

   $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

4. 4

   引く 2 つの項を計算する。

   $P(X=0)=\left(\frac23\right)^{5}=\frac{32}{243},\qquad P(X=1)=\binom51\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^{4}=\frac{80}{243}$

5. 5

   引き算する。

   $P(b=3)=1-\frac{32}{243}-\frac{80}{243}=\frac{243-112}{243}=\frac{131}{243}\approx 0.539$

   $\boxed{\dfrac{131}{243}}$

6. 6

   対になる場合 b = 1 と突き合わせる。 鏡写しの議論により、$b=1$ となるには $2$ か $3$ が出るのが高々 1 回でなければならず、$\left(\tfrac13\right)^5+5\left(\tfrac23\right)\left(\tfrac13\right)^4=\tfrac{1+10}{243}=\tfrac{11}{243}$ となる。$b$ は $1$、$2$、$3$ のいずれかなので、残る場合は $P(b=2)=1-\tfrac{131}{243}-\tfrac{11}{243}=\tfrac{101}{243}$ であり、3 つの和は $1$ になる ✓。