1, 2, 3 と書かれたカードが入った袋から 1 枚引いて数を記録し、カードを戻す。これを 5 回繰り返す。3 がちょうど 1 回記録される確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   試行が二項型であることを確認する。 カードは毎回戻されるので 5 回の引きは独立であり、$3$ が出る確率はどれも同じ $p=\tfrac13$ である。試行回数が $n=5$ と決まっていて成功回数を数えるので、二項モデルが当てはまる。

   $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}$

2. 2

   どの試行で 3 が出るかを選ぶ。 唯一の $3$ は 5 回のどの引きで出てもよい。

   $\binom{5}{1}=5$

   この因子を落とすのが最も多い誤りで、答えが 5 分の 1 になってしまう。

3. 3

   1 つのパターンを固定して確率を掛ける。 どの引きが $3$ かを決めると、その引きの確率は $\tfrac13$、残る 4 回はそれぞれ $1$ か $2$ でなければならず、確率はどれも $\tfrac23$ である。

   $\frac13\left(\frac23\right)^{4}=\frac13\cdot\frac{16}{81}=\frac{16}{243}$

4. 4

   まとめる。

   $P=5\cdot\frac{16}{243}=\frac{80}{243}\approx 0.329$

   $\boxed{\dfrac{80}{243}}$

5. 5

   二項分布全体で検算する。 $k=0,\ldots,5$ に対する 6 つの確率 $\binom5k(\tfrac13)^k(\tfrac23)^{5-k}$ は $\tfrac{32}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{80}{243},\tfrac{40}{243},\tfrac{10}{243},\tfrac{1}{243}$ であり、その和は $\tfrac{243}{243}=1$ ✓ である。$3$ が出る回数の期待値は $np=\tfrac53\approx 1.67$ なので、$k=1$ が最も起こりやすい 2 つの結果の 1 つになるのは予想どおりである。