0, 1, 2, 3, 4, 5 人が欠勤する確率がそれぞれ 0.20, 0.18, 0.10, 0.25, 0.25, 0.02 である表が与えられている。日々の欠勤者数の平均と分散、およびある日に 3 人以上が欠勤する確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず表そのものを検証する。 確率分布であるためには、確率の総和が $1$ でなければならない。

   $0.20 + 0.18 + 0.10 + 0.25 + 0.25 + 0.02 = 1.00 \;\checkmark$

   ここが崩れていればあとの数値はすべて無意味になるので、10 秒かける価値がある。

2. 2

   平均を $\sum x P(x)$ として計算する。

   $\mu = 0(0.20) + 1(0.18) + 2(0.10) + 3(0.25) + 4(0.25) + 5(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.20 + 0.75 + 1.00 + 0.10 = 2.23$

   したがって平均的な日には $2.23$ 人が欠勤している。

3. 3

   $E(X^2)$ を求め、分散の近道の公式を使う。 重みをかける前に各 $x$ を 2 乗する。

   $E(X^2) = 0(0.20) + 1(0.18) + 4(0.10) + 9(0.25) + 16(0.25) + 25(0.02)$

   $= 0 + 0.18 + 0.40 + 2.25 + 4.00 + 0.50 = 7.33$

4. 4

   平均の 2 乗を引く。 計算用の公式 $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ を使えば、6 つの偏差平方を別々に求めずに済む。

   $\sigma^2 = 7.33 - (2.23)^2 = 7.33 - 4.9729 = 2.3571$

   $\sigma = \sqrt{2.3571} = 1.5353$

   順序に注意すること。平均を 2 乗するのであって、2 乗の平均を分散とするのではない。

5. 5

   (b) 2 より大きい側の確率を足す。 「3 人以上」とは $x = 3, 4, 5$ のことであり、$x = 2$ は含まない。

   $P(X > 2) = 0.25 + 0.25 + 0.02 = 0.52$

6. 6

   分散を遠回りの方法で検算する。 $(x-\mu)^2 P(x)$ を足し上げると、$(0-2.23)^2(0.20) = 0.99458$、$(1-2.23)^2(0.18) = 0.272322$、$(2-2.23)^2(0.10) = 0.00529$、$(3-2.23)^2(0.25) = 0.148225$、$(4-2.23)^2(0.25) = 0.783225$、$(5-2.23)^2(0.02) = 0.153458$ となり、合計は $= 2.3571$ ✓ で近道の公式と完全に一致する。また $P(X \le 2) = 0.20+0.18+0.10 = 0.48$ であり $0.48 + 0.52 = 1$ ✓ である。