消費者の 50% が電子機器をオンラインで買うことを好む。無作為に 8 人を選ぶ。オンライン購入を好む人数が (a) ちょうど 5 人、(b) 5 人より多い、(c) 5 人以下 である確率をそれぞれ求めよ。

Step-by-step solution

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   分布を特定する。 独立な 8 人の消費者がそれぞれオンラインを好むか否かで、確率は $p = 0.5$ に固定されている。これは $n = 8$、$p = 0.5$ の二項分布である。ちょうど $k$ 人となる確率は

   $P(k) = \binom{8}{k}(0.5)^k(0.5)^{8-k} = \binom{8}{k}\frac{1}{256}$

   である。$p = 0.5$ なので冪がまとまって定数 $\tfrac{1}{2^8} = \tfrac{1}{256}$ になり、問題全体が場合の数の勘定に帰着する。

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   (a) ちょうど 5 人。 $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5!\,3!} = 56$ なので

   $P(5) = \frac{56}{256} = 0.21875 \approx 0.219$

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   (b) 5 人より多い。 「5 人より多い」とは $6$、$7$、$8$ 人のことなので 3 項を足す。$\binom{8}{6} = 28$、$\binom{8}{7} = 8$、$\binom{8}{8} = 1$ より

   $P(X > 5) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} = 0.144531 \approx 0.145$

   $X > 5$ は $5$ を含まないことに注意したい。誤って含めると $0.219$ が余計に加わる。

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   (c) 5 人以下は余事象で。 「5 人以下」とは $X \le 5$ であり、$X > 5$ 以外のすべてである：

   $P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256} = 0.855469 \approx 0.855$

   $k = 0,\ldots,5$ の 6 項を足すよりはるかに速い。

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   各部分の整合性を確かめる。 $2^8$ 通りすべてを足すと $\binom{8}{0}+\cdots+\binom{8}{8} = 256$ なので、確率の総和はちょうど $1$ になる ✓。また $P(X \le 5) + P(X > 5) = \tfrac{219}{256} + \tfrac{37}{256} = 1$ ✓ であり、$\tfrac{219}{256}$ は直接 $1+8+28+56+70+56 = 219$ と足しても確かめられる。

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   分布の形から妥当性を見る。 $p = 0.5$ なのでこの分布は平均 $np = 4$ について対称であり、$P(5)$ は $P(3)$ に等しいはずである。実際 $\binom{8}{3} = 56$ である ✓。そして質量の半分以上が $4$ 以下にあるので、$P(X \le 5)$ が $0.855$ という大きさなのはまさに妥当である。