(X, Y) の同時密度が領域 x² ≤ y ≤ 1 で f(x, y) = c x² y、それ以外で 0 であるとする。c と 2 つの周辺密度を求め、X と Y が独立かどうかを判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分する前に台を書き出す。 条件 $x^{2}\le y\le 1$ からは $x^{2}\le 1$、すなわち $-1\le x\le 1$ が要求される。領域は放物線 $y=x^{2}$ と水平な直線 $y=1$ にはさまれた部分である。この暗黙の $x$ の範囲を見落とすのが最初の典型的な誤りである。

2. 2

   y から先に積分して正規化する。

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{x^{2}}^{1}cx^{2}y\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}cx^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}\,dx=\frac{c}{2}\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-x^{6}\right)dx$

   どちらの被積分関数も偶関数なので

   $\frac{c}{2}\left(\frac23-\frac27\right)=\frac{c}{2}\cdot\frac{8}{21}=\frac{4c}{21}=1\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{21}{4}$

3. 3

   X の周辺密度を求める。 各 $x\in[-1,1]$ について $y$ を $x^{2}$ から $1$ まで積分する。

   $f_X(x)=\int_{x^{2}}^{1}\frac{21}{4}x^{2}y\,dy=\frac{21}{4}x^{2}\cdot\frac{1-x^{4}}{2}=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\qquad -1\le x\le 1$

4. 4

   Y の周辺密度を求める。 各 $y\in[0,1]$ について、条件 $x^{2}\le y$ は $-\sqrt y\le x\le\sqrt y$ を意味する。

   $f_Y(y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{21}{4}x^{2}y\,dx=\frac{21}{4}y\cdot\frac{2y^{3/2}}{3}=\frac{7}{2}y^{5/2},\qquad 0\le y\le 1$

5. 5

   独立性を判定する。 台の境界は長方形ではなく放物線であり——$Y$ が小さくなるほど $X$ の取りうる値の範囲が狭まる——ので、この 2 変数は独立になりえない。式でも確かめると

   $f_X(x)f_Y(y)=\frac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)\cdot\frac72y^{5/2}\neq\frac{21}{4}x^{2}y=f(x,y)$

   $\boxed{c=\tfrac{21}{4};\ f_X(x)=\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right),\ f_Y(y)=\tfrac72y^{5/2};\ \text{独立でない}}$

6. 6

   どちらの周辺密度も積分が 1 になることを確かめる。 $\int_{-1}^{1}\tfrac{21}{8}x^{2}\left(1-x^{4}\right)dx=\tfrac{21}{8}\cdot 2\left(\tfrac13-\tfrac17\right)=\tfrac{21}{4}\cdot\tfrac{4}{21}=1$ ✓、$\int_{0}^{1}\tfrac72y^{5/2}dy=\tfrac72\cdot\tfrac{2}{7}=1$ ✓ である。