(X, Y) の同時密度が 0 < x ≤ 1、0 ≤ y ≤ x で f(x, y) = cx、それ以外で 0 であるとする。c と 2 つの周辺密度を求め、X と Y が独立かどうかを判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   三角形の台の上で正規化する。 内側の積分で $x$ は定数なので、$y$ から先に積分するのがいちばん楽である。

   $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x}cx\,dy\,dx=\int_{0}^{1}cx\cdot x\,dx=c\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{c}{3}=1$

   $c=3$

2. 2

   X の周辺密度を求める。 $x\in(0,1]$ を固定し、切片 $0\le y\le x$ にわたって $y$ を積分して消す。

   $f_X(x)=\int_{0}^{x}3x\,dy=3x\cdot x=3x^{2},\qquad 0<x\le 1$

3. 3

   Y の周辺密度を求める。 $y\in[0,1]$ を固定すると、台の条件から $x\ge y$ が必要なので、$x$ は $y$ から $1$ まで動く。

   $f_Y(y)=\int_{y}^{1}3x\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}\right]_{y}^{1}=\frac32\left(1-y^{2}\right),\qquad 0\le y\le 1$

   ここで積分範囲を正しく取ること——$x$ は $0$ から $1$ ではなく $y$ から $1$ まで——が要点である。

4. 4

   周辺密度を掛けて独立性を調べる。

   $f_X(x)f_Y(y)=3x^{2}\cdot\frac32\left(1-y^{2}\right)=\frac92x^{2}\left(1-y^{2}\right)$

   これは $f(x,y)=3x$ に等しくない。

5. 5

   決め手となる構造的な理由を述べる。 式を比べるまでもなく、台そのものが決着をつける。領域 $0\le y\le x$ は長方形ではないので、$Y$ の取りうる範囲が $X$ の値に依存する。独立であるためには台が直積集合でなければならない。

   $\boxed{c=3;\ f_X(x)=3x^{2},\ f_Y(y)=\tfrac32\left(1-y^{2}\right);\ X\text{ と }Y\text{ は独立でない}}$

6. 6

   どちらの周辺密度も積分が 1 になることを確かめる。 $\int_{0}^{1}3x^{2}dx=1$ ✓、$\int_{0}^{1}\tfrac32\left(1-y^{2}\right)dy=\tfrac32\left(1-\tfrac13\right)=1$ ✓ であり、$c$ の値と 2 つの積分範囲の取り方がともに裏づけられる。