(X, Y) の同時密度が 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ x で f(x,y) = A(2 − x − y)、それ以外で 0 であるとする。(1) A を求めよ。(2) P(2X − Y < 1) を求めよ。(3) F(1/2, 1/4) と F(1/2, −1) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   (1) 正しい領域の上で正規化条件を課す。 台は三角形$0\le y\le x\le 1$なので、$y$を$0$から$x$まで、次に$x$を$0$から$1$まで積分する：

   $\int_{0}^{x}(2-x-y)\,dy=\left[(2-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=2x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}=2x-\frac32x^{2}$

2. 2

   正規化を仕上げる。

   $A\int_{0}^{1}\left(2x-\tfrac32x^{2}\right)dx=A\left[x^{2}-\tfrac12x^{3}\right]_{0}^{1}=A\left(1-\tfrac12\right)=\frac{A}{2}=1$

   $\boxed{A=2}$

3. 3

   (2) 事象が成り立つ領域を分割する。 事象$2X-Y<1$は$y>2x-1$を意味する。$x\le\tfrac12$では境界$2x-1$が$\le 0$となるので帯$0\le y\le x$の全体が該当し、$x>\tfrac12$では$2x-1<y\le x$の部分だけが該当する。したがって

   $P=\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx$

   $x=\tfrac12$での分割こそが、この小問の難しさのすべてである。

4. 4

   2つの部分を計算する。 $f=2(2-x-y)$として、

   $\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx=\frac38,\qquad \int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx=\frac{5}{24}$

   $P\{2X-Y<1\}=\frac38+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.583$

5. 5

   (3) F(1/2, 1/4) を計算する。 定義により$F(u,v)=P\{X\le u,\ Y\le v\}$なので、三角形のうち$x\le\tfrac12$かつ$y\le\tfrac14$の部分の上で密度を積分する。この領域も$x=\tfrac14$で分かれる：

   $F=\int_{0}^{1/4}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/4}^{1/2}\!\!\int_{0}^{1/4}f\,dy\,dx=\frac{7}{64}+\frac{3}{16}=\frac{7+12}{64}=\frac{19}{64}$

6. 6

   F(1/2, −1) は積分せずに求める。 台では$y\ge 0$が要求されるので、事象$\{Y\le -1\}$は起こり得ない：

   $F\left(\tfrac12,-1\right)=0$

   $\boxed{A=2,\quad P\{2X-Y<1\}=\tfrac{7}{12},\quad F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=\tfrac{19}{64},\quad F\left(\tfrac12,-1\right)=0}$

7. 7

   3つの数値を検算する。 いずれも$[0,1]$に入っている ✓。$F(u,v)$は各引数について非減少なので、$F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=0.297$は$P\{X\le\tfrac12\}$以下でなければならないが、積分すると$P\{X\le\tfrac12\}=\tfrac38=0.375$である ✓。また$P\{2X-Y<1\}=0.583$は$0.375$を上回っているが、この事象は$\{X\le\tfrac12\}$を丸ごと含むのだから当然そうなる。