幸福度（あまり幸せでない・まあ幸せ・とても幸せ）を世帯所得（平均より上・平均・平均より下）とクロス集計したところ、各行は 453 のうち 58/278/117、445 のうち 59/285/101、500 のうち 66/294/140 であった。説明変数と応答変数を特定し、所得の水準ごとに幸福度の条件付き割合を求めて解釈せよ。

Step-by-step solution

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   どちらの変数がどちらを説明するのかを決める。 ここでの関心は「幸福度が所得の水準によって変わるかどうか」にある——変わりうるのは幸福度、変化を引き起こしうるのは所得である。よって所得が説明変数、幸福度が応答変数である。この選択は形式的な事務ではない。割合をどちらの向きで計算するかがこれで決まる。

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   説明変数が指す向きに条件づける。 所得が説明変数であり、それが行を表しているので、各度数をその行の合計で割る。これで「この所得水準の人のうち、とても幸せなのは何割か」に答えられる。列の合計で割ると、別の、あまり意味のない問いに答えることになってしまう。

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   平均より上の所得の行（合計 453）を計算する。

   $\frac{58}{453}=12.8\%,\qquad \frac{278}{453}=61.4\%,\qquad \frac{117}{453}=25.8\%.$

   和が $100\%$ になることが、条件づけを正しく行えたかどうかの確認になる。

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   残る 2 行も計算する。 平均の所得（合計 $445$）：

   $\frac{59}{445}=13.3\%,\qquad \frac{285}{445}=64.0\%,\qquad \frac{101}{445}=22.7\%.$

   平均より下の所得（合計 $500$）：

   $\frac{66}{500}=13.2\%,\qquad \frac{294}{500}=58.8\%,\qquad \frac{140}{500}=28.0\%.$

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   行どうしを比べて関連を判断する。 各列を縦に読む。「あまり幸せでない」はほとんど動かない：$12.8\%$、$13.3\%$、$13.2\%$。「とても幸せ」はもう少し変動する：$25.8\%$、$22.7\%$、$28.0\%$ ——しかも通常の予想に反して、平均より下の所得層の割合が最も高い。

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   解釈を述べる。 もし所得と幸福度が独立なら、どの行も全体の内訳 $13.1\%$ / $61.3\%$ / $25.6\%$ に一致するはずである。実際の各行はそこから数パーセントポイントしかずれておらず、しかもずれの向きも一貫していない。よってこの標本における所得水準と幸福度の関連は弱い。$1398$ という標本サイズでこの程度の差なら、本物だと言う前に正式なカイ二乗検定による確認が要る類のものである。