7 人ずつの 3 群（運動・コメディ・対照）で ΣX = 36, 17, 13、ΣX² = 200, 59, 35 であった。コメディ群と対照群を比較するコーエンの d を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   どの群が関係するかを押さえる。 コーエンの $d$ は2 つの群を比較する量なので、運動群の列はここでは登場しない——この設問に限れば撹乱要素である（全体の分散分析でのみ意味を持つ）。

2. 2

   2 つの平均を計算する。

   $M_{\text{コメディ}}=\frac{17}{7}=2.4286,\qquad M_{\text{対照}}=\frac{13}{7}=1.8571$

   よって平均の差は $2.4286-1.8571=0.5714$（厳密には $\tfrac47$）である。

3. 3

   各群の平方和を求める。 計算用の公式 $SS=\sum X^{2}-\dfrac{(\sum X)^{2}}{n}$ を使うと：

   $SS_{\text{コメディ}}=59-\frac{289}{7}=59-41.2857=17.7143$

   $SS_{\text{対照}}=35-\frac{169}{7}=35-24.1429=10.8571$

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   2 つの分散をプールする。 群のサイズが等しいので、平方和を足して合わせた自由度 $df=(7-1)+(7-1)=12$ で割る：

   $s_{p}^{2}=\frac{17.7143+10.8571}{12}=\frac{28.5714}{12}=2.3810$

   $s_{p}=\sqrt{2.3810}=1.5430$

   分母に入るのは標準誤差ではなくプールした標準偏差である点に注意する。$d$ は生の得点単位での差を測る量なので、$n$ が大きくなっても小さくなってはいけない。

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   コーエンの d を作る。

   $d=\frac{M_{1}-M_{2}}{s_{p}}=\frac{0.5714}{1.5430}=0.370$

   $\boxed{d\approx 0.37}$

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   慣例的な基準に照らして解釈する。 コーエンの大まかな目安は $0.20$ が小、$0.50$ が中、$0.80$ が大なので、$0.37$ は小と中の間にあたる。コメディ群は対照群より標準偏差およそ 3 分の 1 だけ高い得点を示した、ということである。参考までに、3 群すべてを使った分散分析では $SS_{\text{between}}=43.14$、$SS_{\text{total}}=86.57$ となり $\eta^{2}=0.498$ ——これは全体としては大きな効果だが、その主因は運動群であり、だからこそコメディ対対照だけの比較はずっと小さくなる。