消費者の 50% が電子機器をオンラインで買うことを好む。無作為に 8 人を選ぶ。オンライン購入を好む人数が (a) ちょうど 5 人、(b) 5 人より多い、(c) 5 人以下 である確率をそれぞれ求めよ。

Step-by-step solution

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   二項モデルを立て、p = 0.5 を活かす。 ここでは $X\sim B(8,0.5)$ であり

   $P(X=k)=\binom{8}{k}(0.5)^{k}(0.5)^{8-k}=\frac{\binom{8}{k}}{2^{8}}=\frac{\binom{8}{k}}{256}.$

   となる。$p=0.5$ なので $p$ と $1-p$ の冪が 1 つの $2^{-8}$ にまとまり、どの確率も二項係数を $256$ で割っただけのものになる。

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   必要な係数を書き出す。 パスカルの三角形の第 $8$ 行は

   $1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1,$

   であり、当然ながら総和は $256$ になる。

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   (a) ちょうど 5 人。

   $P(5)=\frac{\binom{8}{5}}{256}=\frac{56}{256}=0.21875\approx 0.219.$

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   (b) 5 人より多い。 「5 人より多い」は 5 人自身を含まないので、$k=6,7,8$ を足す：

   $P(X>5)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}=0.14453\approx 0.145.$

   境界を表す言葉が効いてくる。ここで $k=5$ を含めてしまうと $0.363$ になってしまう。

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   (c) 5 人以下は余事象で。 「5 人以下」は「5 人より多い」以外のすべてなので、新たに和をとる必要はない：

   $P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-\frac{37}{256}=\frac{219}{256}=0.85547\approx 0.855.$

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   計算と対称性を確認する。 補い合う 2 つの答えの和は $0.145+0.855=1.000$ ✓。また $p=0.5$ なので分布は平均 $np=4$ について対称であり、$P(X=5)=P(X=3)$、$P(X>5)=P(X<3)$ が成り立つ——係数の取り違えを素早く見つける手段になる。