米国の成人の 66% が新聞をほとんど信頼していない。無作為に 10 人の成人を選ぶ。ほとんど信頼していない人数が (a) ちょうど 5 人、(b) 6 人以上、(c) 4 人未満 である確率をそれぞれ求めよ。

Step-by-step solution

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   二項モデルが使えることを確認する。 独立な選択が $n=10$ 回あり、それぞれ「ほとんど信頼していない」かどうかの 2 択で、確率は $p=0.66$ で一定である。よって $X\sim B(10,0.66)$ であり

   $P(X=k)=\binom{10}{k}(0.66)^{k}(0.34)^{10-k}.$

   となる。

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   (a) ちょうど 5 人。

   $P(5)=\binom{10}{5}(0.66)^{5}(0.34)^{5}=252(0.12523)(0.00454)=0.143.$

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   (b) 6 人以上。 $k=6$ から $k=10$ までの項を足す：

   $P(X\ge 6)=0.23195+0.25729+0.18729+0.08079+0.01568=0.773.$

   平均 $np=6.6$ がこちら側に入っているので、こちらが大きい方の裾になる。

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   (c) 余事象を使うべきかを判断する。 「4 人未満」とは $k=0,1,2,3$、つまり 4 項である。余事象 $P(X\ge 4)$ なら 7 項必要なので、ここでは直接足す方が短い。余事象が近道になるのは、求めたい事象の方が場合の数が多いときだけである。

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   4 つの項を計算する。

   $P(0)=(0.34)^{10}=0.0000206,\qquad P(1)=10(0.66)(0.34)^{9}=0.0004007,$
   $P(2)=45(0.66)^{2}(0.34)^{8}=0.0035005,\qquad P(3)=120(0.66)^{3}(0.34)^{7}=0.0181203.$

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   足して丸める。

   $P(X<4)=0.0000206+0.0004007+0.0035005+0.0181203=0.02204\approx 0.022.$

   小さい値になるのは想定どおりである。平均が $6.6$ 人なのだから、3 人以下というのは下側の裾のかなり奥にあたる。