エポキシ樹脂中にアラミド繊維を含む層が、体積で 75% の繊維を含んでいる。繊維のせん断弾性率が 27 GPa、母材のせん断弾性率が 6 GPa のとき、逆混合則を用いて面内せん断弾性率 G12 を小数第 2 位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   直列（逆混合則）の形を選ぶ。 面内せん断は繊維をその長さ方向に引っ張るわけではないので、繊維と母材は同じせん断応力を受け、それぞれのせん断ひずみが足し合わされる。これは直列配置であり、弾性率ではなくコンプライアンスが加算される：

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}.$

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   体積分率を書き出す。 アラミドが$75\%$を占めるので、

   $V_f=0.75,\qquad V_m=1-0.75=0.25.$

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   2つのコンプライアンス項を計算する。

   $\frac{V_f}{G_f}=\frac{0.75}{27}=0.0277778\ \text{GPa}^{-1},\qquad \frac{V_m}{G_m}=\frac{0.25}{6}=0.0416667\ \text{GPa}^{-1}.$

   体積の4分の1しか占めていない母材のほうが大きな項を寄与している点に注目したい——直列モデルでは柔らかい相が支配的になるのである。

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   足して逆数を取る。

   $\frac{1}{G_{12}}=0.0277778+0.0416667=0.0694444\ \text{GPa}^{-1},$
   $G_{12}=\frac{1}{0.0694444}=14.40\ \text{GPa}.$

   逆数はちょうど割り切れる：$0.0694444=\tfrac{1}{14.4}$である。

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   物理的に妥当な範囲に収まっているか確認する。 $G_{12}$は$G_m=6$と$G_f=27$の間、しかも小さいほうに寄っていなければならない。$14.40$はどちらも満たしている。対照的に、並列（混合則）の式なら$0.75(27)+0.25(6)=21.75\ \text{GPa}$となる——はるかに硬く、せん断には適さないモデルである。