密度 2.2 g/cm^3 の石英繊維を密度 1.25 g/cm^3 のポリエステル樹脂と組み合わせ、石英が複合材の重量の 67% を占めるようにする。Ef = 73 GPa、Em = 2.72 GPa、Gf = 8.4 GPa、Gm = 2.15 GPa のとき、横方向剛性 E22 と面内せん断弾性率 G12 を小数第 1 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   重量分率を体積分率に換算する。 混合則は体積分率で書かれているので、重量で $67\%$ という値をまず換算しなければならない。$W_f=0.67$、$W_m=0.33$ として

   $\frac{W_f}{\rho_f}=\frac{0.67}{2.2}=0.304545,\qquad \frac{W_m}{\rho_m}=\frac{0.33}{1.25}=0.264000$

   $V_f=\frac{0.304545}{0.304545+0.264000}=\frac{0.304545}{0.568545}=0.5357,\qquad V_m=0.4643$

   石英の方が密度が高いため、繊維は重量で $67\%$ でも体積では $53.6\%$ にまで下がる点に注意する。

2. 2

   横方向には逆混合則（Reuss モデル）を選ぶ。 繊維を横切る向きに荷重をかけると、繊維とマトリックスには同じ応力がかかり、ひずみが足し合わされる。したがって剛性ではなくコンプライアンスが割合に応じて加算される。

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}$

   ここで直接混合則 $E=V_fE_f+V_mE_m$ を使うのが典型的な誤りである。その形は繊維方向にのみ当てはまる。

3. 3

   E₂₂ を計算する。

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.5356572}{73}=0.007338,\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.4643428}{2.72}=0.170714$

   $\frac{1}{E_{22}}=0.178052\quad\Longrightarrow\quad E_{22}=5.6163\ \text{GPa}$

4. 4

   せん断弾性率にも同じ規則を適用する。

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}=\frac{0.5356572}{8.4}+\frac{0.4643428}{2.15}=0.063769+0.215973=0.279742$

   $G_{12}=3.5747\ \text{GPa}$

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   小数第 1 位に丸める。

   $\boxed{E_{22}=5.6\ \text{GPa},\qquad G_{12}=3.6\ \text{GPa}}$

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   2 つの結果が物理的に妥当な位置にあるか確かめる。 逆混合則の値は必ず 2 つの構成材料の値の間に、しかも 弱い 側にずっと近く落ちる。$E_{22}=5.6$ GPa は $E_m=2.72$ GPa に近く $E_f=73$ GPa からは遠い。また $G_{12}=3.6$ GPa は $2.15$ と $8.4$ GPa の間にある。対照的に繊維方向の剛性は $V_fE_f+V_mE_m=0.5357(73)+0.4643(2.72)=40.4$ GPa となり 7 倍も剛い。一方向積層材が強い異方性をもつのは、まさにこのためである。