x について解け：1000 = (35)(0.02)(x − 293.15) + (0.6)(5.67e−8)(0.02)(x⁴ − 293.15⁴)。

Step-by-step solution

1. 1

   定数を 2 つの係数にまとめる。 対流と放射の係数をそれぞれ掛け合わせると

   $35 \times 0.02 = 0.7, \qquad 0.6 \times 5.67\times10^{-8} \times 0.02 = 6.804\times10^{-10}$

   となるので、方程式は

   $1000 = 0.7\,(x - 293.15) + 6.804\times10^{-10}\left(x^4 - 293.15^4\right)$

   となる。

2. 2

   展開して 4 次方程式の標準形にする。 $293.15^4 = 7.38515\times10^{9}$ なので、2 つの定数項の寄与は $0.7 \times 293.15 = 205.205$ と $6.804\times10^{-10} \times 7.38515\times10^{9} = 5.0249$ であり

   $6.804\times10^{-10}\,x^4 + 0.7x - 1210.23 = 0$

   となる。

3. 3

   線形近似で止めてはいけない——ここが落とし穴である。 4 次の項を無視すると

   $x \approx \frac{1210.23}{0.7} \approx 1728.9$

   となるが、これを代入し戻せばなぜ破綻するかが分かる。$6.804\times10^{-10}(1728.9)^4 \approx 6079\ \text{W}$ で、熱負荷全体の 6 倍である。その温度では放射項は無視できるどころか支配的であり、$1728.9\ \text{K}$ は大きすぎる。

4. 4

   代わりに 4 次方程式を数値的に解く。 左辺は $x$ について $x > 0$ で狭義単調増加なので（$0.7x$ も $x^4$ も増加する）、物理的な解はちょうど 1 つで、二分法が確実に収束する。$300$ と $5000$ で挟んで二分すると

   $x \approx 947.04\ \text{K}$

   が得られる。

5. 5

   2 つの放熱機構に分けて解を検算する。 $x = 947.04\ \text{K}$ では

   $\text{対流} = 0.7(947.04 - 293.15) = 457.7\ \text{W}$

   $\text{放射} = 6.804\times10^{-10}\left(947.04^4 - 293.15^4\right) = 542.3\ \text{W}$

   となり、$457.7 + 542.3 = 1000.0\ \text{W}$ で要求された放熱量に一致する。放射が負荷の $54\%$ を担っており、決して落とせなかったことが裏づけられる。

6. 6

   物理的な読みとともに答えを述べる。

   $x \approx 947\ \text{K} \ (\approx 674\ ^\circ\text{C})$

   一般的な教訓はこうである。線形の対流項と $T^4$ の放射項が混ざった収支では、必ず 4 次方程式を解かなければならない。放射の増え方があまりに急なので、過昇温が数百ケルビンに達するよりずっと手前で対流を追い越してしまうからである。