2 つの力が 1 点に働く。F_A = 700 N は正の x 軸から 30 度上を向く。F_B は大きさが未知で、x の負の向きと角 theta をなすので、その水平成分は F_A と反対向きである。合力が正の y 軸方向を向いて 1500 N になるように、F_B の大きさと角 theta を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   図を 2 つのスカラー条件に翻訳する。 平面上のベクトル方程式は 2 つの方程式である。「合力が $+y$ を向く」は $x$ 成分の合計が 0 であること、「合力が $1500$ N」はそのうえで $y$ 成分の合計が $1500$ であることを意味する。

   $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=1500$

   これがすべての要点である。合力の方向余弦は一切必要なく、この 2 行だけでよい。

2. 2

   既知の力を分解する。 $F_A$ は正の $x$ 軸から $30^\circ$ なので

   $F_{Ax}=700\cos 30^\circ=606.2178\text{ N},\qquad F_{Ay}=700\sin 30^\circ=350\text{ N}$

   となる。$F_{Ax}$ は小数を多めに保つこと。ここで $606$ に丸めると最終的な角度が 0.1 度ほどずれる。

3. 3

   2 つの条件を $F_B$ に適用する。 $F_B$ の成分を $-F_B\cos\theta$（$F_A$ と反対向き）と $+F_B\sin\theta$ と書くと

   $606.2178-F_B\cos\theta=0\;\Longrightarrow\;F_B\cos\theta=606.2178$

   $350+F_B\sin\theta=1500\;\Longrightarrow\;F_B\sin\theta=1150$

   となる。方程式 2 つ、未知数 2 つだが 1 次ではないので、組にして解く。

4. 4

   2 乗して足し、大きさを求める。 両式を 2 乗して足すと $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ により $\theta$ が消える。

   $F_B^2=1150^2+606.2178^2=1322500+367500=1690000$

   $F_B=\sqrt{1690000}=1300\text{ N}$

   ここでは数値がちょうど合う。$606.2178^2=367500$ と桁までぴったりなので、$F_B$ はきれいな $1.30\times 10^3$ N になる。

5. 5

   割って角度を求める。 2 番目の式を 1 番目で割ると $F_B$ が消える。

   $\tan\theta=\frac{1150}{606.2178}=1.89701\;\Longrightarrow\;\theta=\arctan(1.89701)=62.2^\circ$

   （厳密な $700\cos 30^\circ$ の代わりに $606.2$ を持ち回ると、よく見かける $62.3^\circ$ が出てしまう。小数第 1 位までの正しい値は $62.2^\circ$ である。）

6. 6

   両方の条件で答えを検算する。 $F_B=1300$、$\theta=62.204^\circ$ とすると

   $1300\cos 62.204^\circ=606.2\quad\text{打ち消す相手は }F_{Ax}\;\checkmark$

   $350+1300\sin 62.204^\circ=350+1150=1500\;\checkmark$

   となる。どちらの条件も成り立つので、合力は確かに $y$ 軸に沿って真上を向く $1500$ N である。