長さ 5 m の片持ちばり AB が B で固定されている。自由端 A に下向きの集中荷重 1800 kN が作用し、支点側の 4 m（A から 1 m の位置から 5 m の位置まで）に 500 kN/m の等分布荷重が作用する。最大せん断力と最大曲げモーメントを求め、せん断力図と曲げモーメント図を説明せよ。

Step-by-step solution

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   最大値がどこに現れるかを見抜く。 下向き荷重だけを受ける片持ちばりでは、せん断力も曲げモーメントも自由端のゼロから固定端に向かって単調に大きくなる。したがって内部の極値を探すまでもなく、2 つの最大値を $B$ で直接計算できる。

2. 2

   等分布荷重を合力に置き換える。 この等分布荷重は $4$ m にわたって作用する：

   $W=wL_u=500\times 4=2000\ \text{kN}$

   であり、その作用点は分布区間の重心、すなわち $B$ から $2$ m（$A$ からは $3$ m）の位置である。この合力は反力と端モーメントを求めるには正当だが、図そのものは分布荷重から組み立てなければならない。

3. 3

   固定支点における反力を求める。 鉛直方向のつり合いから反力は

   $R_B=P+W=1800+2000=3800\ \text{kN}\ (\uparrow)$

   となる。$B$ まわりのモーメントのつり合いから固定モーメントは

   $M_B=P\times 5+W\times 2=1800(5)+2000(2)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

   となる。

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   自由端からせん断力図を組み立てる。 $x$ を $A$ から測ると：

   $0\le x\le 1:\quad V(x)=1800\ \text{kN（一定）}$

   $1\le x\le 5:\quad V(x)=1800+500(x-1)\ \text{（直線）}$

   である。したがって SFD は最初の 1 m で $1800$ kN の水平線、その後は直線的に上がって $B$ で $1800+500(4)=3800$ kN に達し、そこで反力が図をゼロに閉じる。

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   曲げモーメント図を組み立てる。 大きさとしては $M(x)=\int_0^x V\,dx$（片持ちばりなので上に凸の引張）なので：

   $0\le x\le 1:\quad M(x)=1800x\ \text{(一次で、}1800\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m に達するのは }x=1)$

   $1\le x\le 5:\quad M(x)=1800x+250(x-1)^2\ \text{（放物線）}$

   となる。$x=5$ では $M=9000+250(16)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$ となり、つり合いから求めた固定モーメントと一致する。

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   最大値を述べる。

   $V_{\max}=3800\ \text{kN},\qquad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

   であり、いずれも固定端 $B$ で生じ、自由端 $A$ ではどちらもゼロである。

   $\boxed{V_{\max}=3800\ \text{kN},\quad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}}$

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   2 つの経路を突き合わせる。 $B$ におけるモーメントは 2 通りで求めた——静力学から（$P\cdot 5+W\cdot 2$）と、せん断力図の積分から（$x=5$ における $1800x+250(x-1)^2$）——そのどちらもが $13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$ を与える。つり合いの値と積分した図が一致することが、図を矛盾なく描けたことの標準的な確認になる。