冷蔵トラックが 1 日を通して平均 42 km/h で走行した。午前は 4 時間、平均 50 km/h で走り、午後は平均 37 km/h だった。午後は何時間走行したか。

Step-by-step solution

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   2 つの速さを平均してはいけない。 つい $(50+37)/2 = 43.5$ としたくなるし、$42$ が $50$ と $37$ の間にあるからよいと考えて止まってしまいがちである。しかし時間が等しくない限り、平均の速さが速さの平均になることはない。唯一安全な定義は

   $\bar v = \frac{\text{総距離}}{\text{総時間}}$

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   未知数を置き、2 つの合計を書き出す。 午後の走行時間を $t$ 時間とする。午前の距離は $4 \times 50 = 200$ km、午後の距離は $37t$ km。総時間は $4 + t$ 時間である。したがって

   $\frac{200 + 37t}{4 + t} = 42$

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   分母を払う。 両辺に $(4+t)$ を掛ける。走行時間なので $4+t>0$ であり、この操作は安全である：

   $200 + 37t = 42(4 + t) = 168 + 42t$

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   $t$ の項をまとめる。 両辺から $168$ と $37t$ を引くと：

   $200 - 168 = 42t - 37t \;\Longrightarrow\; 32 = 5t \;\Longrightarrow\; t = \frac{32}{5} = 6.4$

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   解釈と検算。 トラックは午後に $6.4$ 時間（6 時間 24 分）走行した。確かめると、午後の距離 $= 37 \times 6.4 = 236.8$ km、総距離 $= 200 + 236.8 = 436.8$ km、総時間 $= 4 + 6.4 = 10.4$ 時間で、$436.8 \div 10.4 = 42$ km/h とちょうど一致する。妥当性の確認にも通る。$42$ は $50$ よりも $37$ に近いので、遅い午後の区間の方が長い時間を要するはずであり、実際 $6.4 > 4$ である。