放物線 y^2 + 6y + 9 = 12 - 12x の頂点、焦点、対称軸、準線を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方完成ではなく、完全平方式であることに気づく。 左辺の $y^2 + 6y + 9$ は $9 = (6/2)^2$ なのですでに $(y+3)^2$ である。これを見抜けば平方完成の手順をまるごと省ける。

   $(y+3)^2 = 12 - 12x$

2. 2

   右辺を $4p(x-h)$ の形に見えるよう因数分解する。 $-12$ をくくり出す。

   $(y+3)^2 = -12(x-1)$

   符号が重要である。$12(1-x)$ と書いてしまうと $h$ の値が見えなくなる。

3. 3

   横向きの型に照合する。 ここでは 2 乗されているのが $y$ なので放物線は横向きに開き、型は $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ である。$(y-(-3))^2 = -12(x-1)$ と書けば $h = 1$、$k = -3$、$4p = -12$ なので

   $p = -3$

   となる。$p < 0$ なので放物線は左に開く。

4. 4

   頂点と焦点を求める。 頂点は $(h,k) = (1,-3)$ である。横向きの放物線では焦点は $(h+p,\; k)$ である。

   $(1 + (-3),\, -3) = (-2, -3)$

5. 5

   軸と準線を述べる。 対称軸は頂点を通る水平な直線 $y = k = -3$ である。準線は鉛直な直線 $x = h - p = 1 - (-3) = 4$ で、頂点の 右 に 3 だけ離れている——焦点とは反対側にあり、そうでなければならない。

6. 6

   1 点を定義に照らして確かめる。 $y = 3$ とすると式から $(3+3)^2 = 36 = -12(x-1)$ なので $x = -2$ となり、$(-2, 3)$ は曲線上にある。焦点 $(-2,-3)$ までの距離は $6$、準線 $x = 4$ までの距離は $|-2 - 4| = 6$ である。2 つの距離は一致する。