1 辺 1 cm の正方形 5 個を辺どうしでつないで、周の長さが異なる 2 つの図形を作れ。それぞれの周の長さを答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   面積では周の長さが決まらない理由を見る。 どの並べ方でも同じ 5 個の正方形を使うので、どの図形も面積は $5\ \text{cm}^2$ である。しかし周の長さは正方形どうしの接し方に依存する——面積が等しくても周が等しいとは限らない、というのがこの課題の要点である。

2. 2

   数え上げの規則を導く。 5 個をばらばらに置けば単位辺が $5\times 4=20$ 本露出する。2 個をつなぐたびに双方から 1 本ずつ隠れるので、合計から $2$ ずつ減る。

   $\text{周の長さ}=20-2\times(\text{共有する辺の本数})$

   したがって内部の接触が 少ない 図形ほど周は 長く なる。

3. 3

   図形 1——正方形 5 個を一列に並べる。 一直線に並べると各正方形は隣どうしにしか接しないので、共有する辺は $4$ 本である。

   $P=20-2(4)=12\ \text{cm}$

   直接確かめると、この列は $5$ cm × $1$ cm なので $P=2(5+1)=12$ cm である。

4. 4

   図形 2——3 個を横に並べ、その上に 2 個を載せる。 下段に $(0,0),(1,0),(2,0)$、上段に $(0,1),(1,1)$ のセルを置く。接触は $(0,0)\!-\!(1,0)$、$(1,0)\!-\!(2,0)$、$(0,1)\!-\!(1,1)$、$(0,0)\!-\!(0,1)$、$(1,0)\!-\!(1,1)$ の 5 本である。

   $P=20-2(5)=10\ \text{cm}$

5. 5

   図形 2 の周を実際にたどって確認する。 左下の角から時計回りに進むと、上に $2$、右に $2$、下に $1$、右に $1$、下に $1$、左に $3$。合計 $2+2+1+1+1+3=10$ cm となり、公式と一致する。

6. 6

   答えと背後にある原理を述べる。

   $\boxed{\text{一列: }12\ \text{cm};\quad 3\text{ 個 + }2\text{ 個の塊: }10\ \text{cm}}$

   正方形 5 個の L 字形（横に 3 個、片側に 2 個積む）も共有する辺は $4$ 本しかないので $12$ cm となり、一列の場合と同じである。周を短くするのは見た目の折れ曲がり方ではなく、詰まり具合である。