体積が 729 cm³ の立方体の表面積を求めよ。

Step-by-step solution

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   1 辺の長さが橋渡しになる理由を押さえる。 体積と表面積は直接比例しないので、一方から他方へそのまま換算することはできない。しかしどちらもただ 1 つの辺の長さ $a$ で決まるので、まず $a$ を復元し、そこから表面積を組み立て直す。

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   体積の公式を逆に使う。 立方体では $V=a^3$ なので

   $a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{729}$

   $729$ が立方数であることに気づく：$9^3=9\times 9\times 9=81\times 9=729$。よって

   $a=9\ \text{cm}$

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   表面積の公式を適用する。 立方体は面積 $a^2$ の合同な正方形の面を $6$ つもつ。

   $S=6a^2$

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   代入して計算する。

   $S=6\times 9^2=6\times 81=486\ \text{cm}^2$

   $\boxed{486\ \text{cm}^2}$

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   単位と大きさを確かめる。 体積の単位は $\text{cm}^3$、面積の単位は $\text{cm}^2$ なので、答えが $\text{cm}^2$ で表されているのは正しい。おおまかな確認として、1 面が $81\ \text{cm}^2$ でそれが 6 つあるから、答えは $80$ と $500$ の間になければならない——$486$ はその範囲にある。