三角形 ABC は B を直角とする直角二等辺三角形である。点 H は辺 AB 上にあり、点 D は半直線 BC の反対側の半直線上にあって BH = BD を満たす。DH が AC に垂直であること、および CH が AD に垂直であることを証明せよ。

Step-by-step solution

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   直角の頂点に座標を置く——これが両方を定型作業に変える。 直角が $B$ にあり 2 辺の長さが等しいので、$B$ を原点に置き 2 辺を座標軸に沿わせても何も失われず、すべての仮定が座標に翻訳される。

   $B=(0,0),\quad A=(a,0),\quad C=(0,a),\qquad a>0$

   $H$ は線分 $AB$ 上にあるので $H=(t,0)$、ただし $0<t\le a$ である。$D$ は半直線 $BC$ の反対の半直線、すなわち $y$ 軸の負の側にあるので $D=(0,-d)$、ただし $d>0$ である。条件 $BH=BD$ は $t=d$ を意味するので

   $H=(t,0),\qquad D=(0,-t)$

   となる。ただ 1 つの助変数 $t$ が配置全体を記述していることに注目したい。

2. 2

   内積で (a) を証明する。 2 つの方向ベクトルを作る。

   $\vec{DH}=H-D=(t-0,\,0-(-t))=(t,\,t),\qquad \vec{AC}=C-A=(0-a,\,a-0)=(-a,\,a)$

   内積は

   $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=t(-a)+t(a)=-at+at=0$

   である。どちらのベクトルも零ベクトルではない（$t>0$、$a>0$）ので、内積が 0 であることは 2 直線が直交することを意味し、$DH\perp AC$ が示された。

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   角度から (a) を読み直し、なぜ必然なのかを見る。 三角形 $BHD$ は $B$ で直角をもち（座標軸が直交する）、$BH=BD$ なので直角二等辺三角形であり、$\angle BHD=\angle BDH=45^{\circ}$ である。三角形 $ABC$ も直角二等辺なので $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$ である。したがって直線 $DH$ は直線 $BC$ と $45^{\circ}$ で交わり、直線 $AC$ は反対側で $45^{\circ}$ をなし、2 つの $45^{\circ}$ が足されて $90^{\circ}$ になる。この垂直性は実のところ、直交する 1 組の直線を共有する 2 つの直角二等辺三角形についての主張なのである。

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   同じ座標で (b) を証明する。 今度は別の組み合わせを使う。

   $\vec{CH}=H-C=(t,\,-a),\qquad \vec{AD}=D-A=(-a,\,-t)$

   よって

   $\vec{CH}\cdot\vec{AD}=t(-a)+(-a)(-t)=-at+at=0$

   となり $CH\perp AD$ である。傾きで言えば同じことで、$m_{CH}=\dfrac{0-a}{t-0}=-\dfrac{a}{t}$、$m_{AD}=\dfrac{-t-0}{0-a}=\dfrac{t}{a}$ であり、その積は $-\dfrac{a}{t}\cdot\dfrac{t}{a}=-1$、すなわち垂直な 2 直線の傾きの条件である。傾きによる形は $t\neq 0$ を要するが内積による形は要しないので、内積のほうが議論としてきれいである。

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   構造的な理由を押さえ、数値でも検証する。 (b) は実は垂心が姿を変えたものである。三角形 $ACD$ において直線 $AB$ は $A$ からの高さであり（$y$ 軸である $CD$ に垂直）、その上に $H$ がある。一方 (a) より $DH\perp AC$ なので $DH$ は $D$ からの高さである。2 本の高さが $H$ で交わるので、3 本目の高さ $CH$ もそこを通らねばならず、$CH\perp AD$ が従う。$a=3.7$、$t=1.4$ で数値的に確かめると $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=0$、$\vec{CH}\cdot\vec{AD}=0$ がちょうど成り立ち、傾きの積は $-1.0$ になる。