ある多角形の対角線は 14 本である。辺は何本か。また、内角の和が外角の和に等しいのはどの多角形か。

Step-by-step solution

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   対角線の本数は暗記せずに導く。 $n$ 個の頂点それぞれから、自分自身と隣り合う 2 頂点（これらは辺になって対角線にならない）を除いた $n-3$ 個の頂点へ線分を引ける。これでは各対角線が両端から 1 回ずつ、計 2 回数えられるので

   $D=\frac{n(n-3)}{2}.$

   となる。

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   本数を 14 とおいて解く。

   $\frac{n(n-3)}{2}=14\ \Longrightarrow\ n^{2}-3n-28=0\ \Longrightarrow\ (n-7)(n+4)=0.$

   解は $n=7$ と $n=-4$ である。多角形の辺の数が負になることはないので

   $n=7\quad(\text{七角形}).$

   となる。

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   検算する。 七角形の対角線は $\tfrac{7\times 4}{2}=14$ 本である ✓。

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   (2) のために角の和に関する 2 つの事実を思い出す。 任意の凸 $n$ 角形について

   $\text{内角の和}=(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \text{外角の和}=360^\circ.$

   が成り立つ。目を引くのは外角の和のほうである。辺が何本であろうとどの多角形でも $360^\circ$ になる——図形を一周すればちょうど 1 回転するからである。

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   2 つの和を等しいとおく。

   $(n-2)\cdot 180=360\ \Longrightarrow\ n-2=2\ \Longrightarrow\ n=4.$

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   両方の答えを検算とともに述べる。 対角線が $14$ 本の多角形は辺が $7$ 本であり、内角の和と外角の和が一致する多角形は四角形である。その内角の和は $(4-2)180=360^\circ$ で、すべての多角形に共通の外角の和 $360^\circ$ と一致する ✓。なお辺を 1 本増やしても外角の和は変わらず、内角の和だけが $180^\circ$ 増える。