次の主張は正しいか、誤りか。ある三角形の 3 つの角がそれぞれ別の三角形の 3 つの角に等しいならば、2 つの三角形は合同である。

Step-by-step solution

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   この主張が混同している 2 つの概念を切り分ける。 合同とは形と大きさが同一であること——一方をもう一方の上にぴったり重ねられることを意味する。相似は形だけが同一で、すべての辺が同じ倍率で拡大縮小されていることを意味する。角だけで支配できるのは、しょせん形だけである。

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   実際の合同条件を思い出す。 正しい合同条件にはどれも必ず辺が少なくとも 1 つ含まれる：3 辺相等、2 辺夾角相等、1 辺両端角相等、2 角 1 対辺相等、そして直角三角形の斜辺と他の 1 辺。AAA という条件はあえて存在しない——その不在こそがこの問題の眼目である。

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   反例を作る。 3 辺が $3,4,5$ の三角形と 3 辺が $6,8,10$ の三角形は、3 つの角がまったく同じである（どちらも直角三角形で、後者の各辺は前者の対応する辺のちょうど 2 倍）。しかし面積は $6$ と $24$ なので、合同でないことは明らかである。

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   角では大きさを決められない理由を説明する。 3 つの角を決めても、独立な量は 2 つしか決まらない。3 つ目の角は $A+B+C=180^\circ$ から自動的に決まってしまうからである。三角形が合同を除いて定まるには独立な測定量が 3 つ必要であり、そのうち少なくとも 1 つは長さを担っていなければならない。

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   正しい形に言い直す。 角が等しいことからは、きちんとした定理が得られる——AA（または AAA）相似条件である。すなわち 2 つの三角形は相似であり、辺は比例する。合同が言えるのは、対応する 1 組の辺が等しいと分かっている場合に限られる。したがって書かれたままの主張は誤りである。